abs((2*n-1)/(4*n+5)-1/2)<1/1000 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{\frac{2 n - 1}{4 n + 5} - \frac{1}{2}}\right| < \frac{1}{1000}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{\frac{2 n - 1}{4 n + 5} - \frac{1}{2}}\right| = \frac{1}{1000}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left|{\frac{2 n - 1}{4 n + 5} - \frac{1}{2}}\right| = \frac{1}{1000}$$
Usamos la regla de proporciones:
De a1/b1 = a2/b2 se deduce a1*b2 = a2*b1,
En nuestro caso

a1 = 7/2

b1 = |5 + 4*n|

a2 = 1

b2 = 1000

signo obtendremos la ecuación
$$\frac{7 \cdot 1000}{2} = \left|{4 n + 5}\right|$$
$$3500 = \left|{4 n + 5}\right|$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$0 = \left|{4 n + 5}\right| - 3500$$
Esta ecuación no tiene soluciones
$$x_{1} = -876.25$$
$$x_{2} = 873.75$$
$$x_{1} = -876.25$$
$$x_{2} = 873.75$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -876.25$$
$$x_{2} = 873.75$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-876.25 + - \frac{1}{10}$$
=
$$-876.35$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{\frac{2 n - 1}{4 n + 5} - \frac{1}{2}}\right| < \frac{1}{1000}$$
$$\left|{\frac{2 n - 1}{4 n + 5} - \frac{1}{2}}\right| < \frac{1}{1000}$$

     7              
----------- < 1/1000
2*|5 + 4*n|         

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < -876.25$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < -876.25$$
$$x > 873.75$$