abs(x-9)<=9 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x - 9}\right| \leq 9$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x - 9}\right| = 9$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 9 \geq 0$$
o
$$9 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 9\right) - 9 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x - 18 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 18$$

2.
$$x - 9 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < 9$$
obtenemos la ecuación
$$\left(9 - x\right) - 9 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = 0$$


$$x_{1} = 18$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = 18$$
$$x_{2} = 0$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = 18$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x - 9}\right| \leq 9$$
$$\left|{-9 + - \frac{1}{10}}\right| \leq 9$$

91     
-- <= 9
10     

pero

91     
-- >= 9
10     

Entonces
$$x \leq 0$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 0 \wedge x \leq 18$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1