abs(x^2-3)+2*x+1>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(2 x + \left|{x^{2} - 3}\right|\right) + 1 \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(2 x + \left|{x^{2} - 3}\right|\right) + 1 = 0$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x^{2} - 3 \geq 0$$
o
$$\left(x \leq - \sqrt{3} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(\sqrt{3} \leq x \wedge x < \infty\right)$$
obtenemos la ecuación
$$2 x + \left(x^{2} - 3\right) + 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x^{2} + 2 x - 2 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = -1 + \sqrt{3}$$
pero x1 no satisface a la desigualdad
$$x_{2} = - \sqrt{3} - 1$$

2.
$$x^{2} - 3 < 0$$
o
$$- \sqrt{3} < x \wedge x < \sqrt{3}$$
obtenemos la ecuación
$$2 x + \left(3 - x^{2}\right) + 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x^{2} + 2 x + 4 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = 1 - \sqrt{5}$$
$$x_{4} = 1 + \sqrt{5}$$
pero x4 no satisface a la desigualdad


$$x_{1} = - \sqrt{3} - 1$$
$$x_{2} = 1 - \sqrt{5}$$
$$x_{1} = - \sqrt{3} - 1$$
$$x_{2} = 1 - \sqrt{5}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \sqrt{3} - 1$$
$$x_{2} = 1 - \sqrt{5}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \sqrt{3} - 1\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \sqrt{3} - \frac{11}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(2 x + \left|{x^{2} - 3}\right|\right) + 1 \geq 0$$
$$\left(2 \left(- \sqrt{3} - \frac{11}{10}\right) + \left|{-3 + \left(- \sqrt{3} - \frac{11}{10}\right)^{2}}\right|\right) + 1 \geq 0$$

                   2               
  21   /11     ___\        ___     
- -- + |-- + \/ 3 |  - 2*\/ 3  >= 0
  5    \10        /                
     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq - \sqrt{3} - 1$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq - \sqrt{3} - 1$$
$$x \geq 1 - \sqrt{5}$$