sin3(x)

+ desigualdades

¡Resolver la desigualdad!

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]

            ___
   3      \/ 2 
sin (x) < -----
            2  

$$\sin^{3}{\left(x \right)} < \frac{\sqrt{2}}{2}$$

sin(x)^3 < sqrt(2)/2

Solución detallada

Se da la desigualdad:
$$\sin^{3}{\left(x \right)} < \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin^{3}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin^{3}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
cambiamos
$$\sin^{3}{\left(x \right)} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$$
$$\sin^{3}{\left(x \right)} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$w^{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{w^{3}} = \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
o
$$w = \frac{2^{\frac{5}{6}}}{2}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

w = 2^5/6/2

Obtenemos la respuesta: w = 2^(5/6)/2

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = w$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
donde
$$r = \frac{2^{\frac{5}{6}}}{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = \frac{2^{\frac{5}{6}}}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{5}{6}}}{4} - \frac{2^{\frac{5}{6}} \sqrt{3} i}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{5}{6}}}{4} + \frac{2^{\frac{5}{6}} \sqrt{3} i}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$z = w$$
$$w = z$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$w_{1} = \frac{2^{\frac{5}{6}}}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{2^{\frac{5}{6}}}{4} - \frac{2^{\frac{5}{6}} \sqrt{3} i}{4}$$
$$w_{3} = - \frac{2^{\frac{5}{6}}}{4} + \frac{2^{\frac{5}{6}} \sqrt{3} i}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2^{\frac{5}{6}}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2^{\frac{5}{6}}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2^{\frac{5}{6}}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2^{\frac{5}{6}}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{1} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{2^{\frac{5}{6}}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi + \operatorname{asin}{\left(\frac{2^{\frac{5}{6}}}{4} - \frac{2^{\frac{5}{6}} \sqrt{3} i}{4} \right)}$$
$$x_{3} = \pi + \operatorname{asin}{\left(\frac{2^{\frac{5}{6}}}{4} + \frac{2^{\frac{5}{6}} \sqrt{3} i}{4} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{asin}{\left(\frac{2^{\frac{5}{6}}}{2} \right)}$$
$$x_{5} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{2^{\frac{5}{6}}}{4} - \frac{2^{\frac{5}{6}} \sqrt{3} i}{4} \right)}$$
$$x_{6} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{2^{\frac{5}{6}}}{4} + \frac{2^{\frac{5}{6}} \sqrt{3} i}{4} \right)}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{2^{\frac{5}{6}}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \operatorname{asin}{\left(\frac{2^{\frac{5}{6}}}{2} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \operatorname{asin}{\left(\frac{2^{\frac{5}{6}}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{2^{\frac{5}{6}}}{2} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{2^{\frac{5}{6}}}{2} \right)}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{2^{\frac{5}{6}}}{2} \right)}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin^{3}{\left(x \right)} < \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin^{3}{\left(- \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{2^{\frac{5}{6}}}{2} \right)} \right)} < \frac{\sqrt{2}}{2}$$

     /         / 5/6\\     ___
    3|1        |2   ||   \/ 2 
-sin |-- - asin|----|| < -----
     \10       \ 2  //     2  
   

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \operatorname{asin}{\left(\frac{2^{\frac{5}{6}}}{2} \right)}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \operatorname{asin}{\left(\frac{2^{\frac{5}{6}}}{2} \right)}$$
$$x > \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{2^{\frac{5}{6}}}{2} \right)}$$

Solución de la desigualdad en el gráfico

Gráfico