log(3)(|x-1|)<1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(3 \right)} \left|{x - 1}\right| < 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(3 \right)} \left|{x - 1}\right| = 1$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 1 \geq 0$$
o
$$1 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 1\right) \log{\left(3 \right)} - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$\left(x - 1\right) \log{\left(3 \right)} - 1 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{1}{\log{\left(3 \right)}} + 1$$

2.
$$x - 1 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < 1$$
obtenemos la ecuación
$$\left(1 - x\right) \log{\left(3 \right)} - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$\left(1 - x\right) \log{\left(3 \right)} - 1 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = 1 - \frac{1}{\log{\left(3 \right)}}$$


$$x_{1} = \frac{1}{\log{\left(3 \right)}} + 1$$
$$x_{2} = 1 - \frac{1}{\log{\left(3 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{\log{\left(3 \right)}} + 1$$
$$x_{2} = 1 - \frac{1}{\log{\left(3 \right)}}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 1 - \frac{1}{\log{\left(3 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{\log{\left(3 \right)}} + 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(1 - \frac{1}{\log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\frac{9}{10} - \frac{1}{\log{\left(3 \right)}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(3 \right)} \left|{x - 1}\right| < 1$$
$$\log{\left(3 \right)} \left|{-1 + \left(\frac{9}{10} - \frac{1}{\log{\left(3 \right)}}\right)}\right| < 1$$

/1      1   \           
|-- + ------|*log(3) < 1
\10   log(3)/           

pero

/1      1   \           
|-- + ------|*log(3) > 1
\10   log(3)/           

Entonces
$$x < 1 - \frac{1}{\log{\left(3 \right)}}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 1 - \frac{1}{\log{\left(3 \right)}} \wedge x < \frac{1}{\log{\left(3 \right)}} + 1$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1