cos2x>=0,5 desigualdades

Ha introducido [src]

cos(2*x) >= 1/2

\cos{\left(2 x \right)} \geq \frac{1}{2}

cos(2*x) >= 1/2

Solución detallada

Se da la desigualdad:

\cos{\left(2 x \right)} \geq \frac{1}{2}

Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:

\cos{\left(2 x \right)} = \frac{1}{2}

Resolvemos:
Tenemos la ecuación

\cos{\left(2 x \right)} = \frac{1}{2}

es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en

2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}

2 x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}

O

2 x = \pi n + \frac{\pi}{3}

2 x = \pi n - \frac{2 \pi}{3}

, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en

2

x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6}

x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{3}

x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6}

x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{3}

Las raíces dadas

x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6}

x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{3}

son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:

x_{0} \leq x_{1}

Consideremos, por ejemplo, el punto

x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}

=

\left(\frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6}\right) + - \frac{1}{10}

=

\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}

lo sustituimos en la expresión

\cos{\left(2 x \right)} \geq \frac{1}{2}

\cos{\left(2 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}\right) \right)} \geq \frac{1}{2}

   /  1   pi       \       
cos|- - + -- + pi*n| >= 1/2
   \  5   3        /

pero

   /  1   pi       \      
cos|- - + -- + pi*n| < 1/2
   \  5   3        /

Entonces

x \leq \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6}

no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:

x \geq \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6} \wedge x \leq \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{3}

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2

Solución de la desigualdad en el gráfico

Respuesta rápida [src]

  /   /             pi\     /5*pi              \\
Or|And|0 <= x, x <= --|, And|---- <= x, x <= pi||
  \   \             6 /     \ 6                //

\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{\pi}{6}\right) \vee \left(\frac{5 \pi}{6} \leq x \wedge x \leq \pi\right)

((0 <= x)∧(x <= pi/6))∨((x <= pi)∧(5*pi/6 <= x))

Respuesta rápida 2 [src]

    pi     5*pi     
[0, --] U [----, pi]
    6       6

x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{6}, \pi\right]

x in Union(Interval(0, pi/6), Interval(5*pi/6, pi))

Gráfico