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Resolver desigualdades/ sin^2x-3sinxcosx+2cos^2x≤0

sin^2x-3sinxcosx+2cos^2x≤0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
   2                             2        
sin (x) - 3*sin(x)*cos(x) + 2*cos (x) <= 0
(sin⁡2(x)−3sin⁡(x)cos⁡(x))+2cos⁡2(x)≤0\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} \leq 0 
sin(x)^2 - 3*sin(x)*cos(x) + 2*cos(x)^2 <= 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
(sin⁡2(x)−3sin⁡(x)cos⁡(x))+2cos⁡2(x)≤0\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} \leq 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
(sin⁡2(x)−3sin⁡(x)cos⁡(x))+2cos⁡2(x)=0\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvemos:
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
x3=−2atan⁡(12−52)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}
x4=−2atan⁡(12+52)x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
x3=−2atan⁡(12−52)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}
x4=−2atan⁡(12+52)x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}
Las raíces dadas
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x4=−2atan⁡(12+52)x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
x3=−2atan⁡(12−52)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−3π4−110- \frac{3 \pi}{4} - \frac{1}{10}
=
−3π4−110- \frac{3 \pi}{4} - \frac{1}{10}
lo sustituimos en la expresión
(sin⁡2(x)−3sin⁡(x)cos⁡(x))+2cos⁡2(x)≤0\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} \leq 0
(−3sin⁡(−3π4−110)cos⁡(−3π4−110)+sin⁡2(−3π4−110))+2cos⁡2(−3π4−110)≤0\left(- 3 \sin{\left(- \frac{3 \pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} \cos{\left(- \frac{3 \pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} + \sin^{2}{\left(- \frac{3 \pi}{4} - \frac{1}{10} \right)}\right) + 2 \cos^{2}{\left(- \frac{3 \pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} \leq 0
   2/1    pi\        2/1    pi\        /1    pi\    /1    pi\     
cos |-- + --| + 2*sin |-- + --| - 3*cos|-- + --|*sin|-- + --| <= 0
    \10   4 /         \10   4 /        \10   4 /    \10   4 /

pero
   2/1    pi\        2/1    pi\        /1    pi\    /1    pi\     
cos |-- + --| + 2*sin |-- + --| - 3*cos|-- + --|*sin|-- + --| >= 0
    \10   4 /         \10   4 /        \10   4 /    \10   4 /

Entonces
x≤−3π4x \leq - \frac{3 \pi}{4}
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≥−3π4∧x≤−2atan⁡(12+52)x \geq - \frac{3 \pi}{4} \wedge x \leq - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}
         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------•-------•-------•-------•-------
       x1      x4      x2      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x≥−3π4∧x≤−2atan⁡(12+52)x \geq - \frac{3 \pi}{4} \wedge x \leq - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}
x≥π4∧x≤−2atan⁡(12−52)x \geq \frac{\pi}{4} \wedge x \leq - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-60-50-40-30-20-10102030405060705-5
Respuesta rápida 2 [src] 
 pi          
[--, atan(2)]
 4
x in [π4,atan⁡(2)]x\ in\ \left[\frac{\pi}{4}, \operatorname{atan}{\left(2 \right)}\right] 
x in Interval(pi/4, atan(2))
Respuesta rápida [src] 
   /pi                   \
And|-- <= x, x <= atan(2)|
   \4                    /
π4≤x∧x≤atan⁡(2)\frac{\pi}{4} \leq x \wedge x \leq \operatorname{atan}{\left(2 \right)} 
(x <= atan(2))∧(pi/4 <= x)
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