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ln(x^2−4)−ln(((x+2)^3)/((x−2)^3))>2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
                 /       3\    
   / 2    \      |(x + 2) |    
log\x  - 4/ - log|--------| > 2
                 |       3|    
                 \(x - 2) /    
$$- \log{\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{\left(x - 2\right)^{3}} \right)} + \log{\left(x^{2} - 4 \right)} > 2$$
-log((x + 2)^3/(x - 2)^3) + log(x^2 - 4) > 2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$- \log{\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{\left(x - 2\right)^{3}} \right)} + \log{\left(x^{2} - 4 \right)} > 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \log{\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{\left(x - 2\right)^{3}} \right)} + \log{\left(x^{2} - 4 \right)} = 2$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - \frac{e}{2} + 2 - \frac{i \sqrt{16 - e} e^{\frac{1}{2}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{e}{2} + 2 + \frac{i \sqrt{16 - e} e^{\frac{1}{2}}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{e}{2} + 2 + \frac{\sqrt{e + 16} e^{\frac{1}{2}}}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{e + 16} e^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{e}{2} + 2$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = \frac{e}{2} + 2 + \frac{\sqrt{e + 16} e^{\frac{1}{2}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{e + 16} e^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{e}{2} + 2$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{e + 16} e^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{e}{2} + 2$$
$$x_{1} = \frac{e}{2} + 2 + \frac{\sqrt{e + 16} e^{\frac{1}{2}}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{e + 16} e^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{e}{2} + 2\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{e + 16} e^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{e}{2} + \frac{19}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \log{\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{\left(x - 2\right)^{3}} \right)} + \log{\left(x^{2} - 4 \right)} > 2$$
$$- \log{\left(\frac{\left(\left(- \frac{\sqrt{e + 16} e^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{e}{2} + \frac{19}{10}\right) + 2\right)^{3}}{\left(-2 + \left(- \frac{\sqrt{e + 16} e^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{e}{2} + \frac{19}{10}\right)\right)^{3}} \right)} + \log{\left(-4 + \left(- \frac{\sqrt{e + 16} e^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{e}{2} + \frac{19}{10}\right)^{2} \right)} > 2$$
     /                           3 \                                           
     | /           ________  1/2\  |                                           
     | |39   E   \/ 16 + E *e   |  |      /                              2\    
     |-|-- + - - ---------------|  |      |    /           ________  1/2\ |    
     | \10   2          2       /  |      |    |19   E   \/ 16 + E *e   | |    
- log|-----------------------------| + log|4 - |-- + - - ---------------| | > 2
     |                            3|      \    \10   2          2       / /    
     |/             ________  1/2\ |                                           
     ||  1    E   \/ 16 + E *e   | |                                           
     ||- -- + - - ---------------| |                                           
     \\  10   2          2       / /                                           

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \frac{\sqrt{e + 16} e^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{e}{2} + 2$$
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \frac{\sqrt{e + 16} e^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{e}{2} + 2$$
$$x > \frac{e}{2} + 2 + \frac{\sqrt{e + 16} e^{\frac{1}{2}}}{2}$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida [src]
  /                         /                      ________  1/2\     /                  ________  1/2    \\
  |                         |                E   \/ 16 + E *e   |     |            E   \/ 16 + E *e       ||
Or|And(-oo < x, x < -2), And|-2 < x, x < 2 + - - ---------------|, And|x < oo, 2 + - + --------------- < x||
  \                         \                2          2       /     \            2          2           //
$$\left(-\infty < x \wedge x < -2\right) \vee \left(-2 < x \wedge x < - \frac{\sqrt{e + 16} e^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{e}{2} + 2\right) \vee \left(x < \infty \wedge \frac{e}{2} + 2 + \frac{\sqrt{e + 16} e^{\frac{1}{2}}}{2} < x\right)$$
((-oo < x)∧(x < -2))∨((-2 < x)∧(x < 2 + E/2 - sqrt(16 + E)*exp(1/2)/2))∨((x < oo)∧(2 + E/2 + sqrt(16 + E)*exp(1/2)/2 < x))
Respuesta rápida 2 [src]
                           ________  1/2               ________  1/2     
                     E   \/ 16 + E *e            E   \/ 16 + E *e        
(-oo, -2) U (-2, 2 + - - ---------------) U (2 + - + ---------------, oo)
                     2          2                2          2            
$$x\ in\ \left(-\infty, -2\right) \cup \left(-2, - \frac{\sqrt{e + 16} e^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{e}{2} + 2\right) \cup \left(\frac{e}{2} + 2 + \frac{\sqrt{e + 16} e^{\frac{1}{2}}}{2}, \infty\right)$$
x in Union(Interval.open(-oo, -2), Interval.open(-2, -sqrt(E + 16)*exp(1/2)/2 + E/2 + 2), Interval.open(E/2 + 2 + sqrt(E + 16)*exp(1/2)/2, oo))