(sqrt(2)-x+4*x-3)/x>=2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(4 x + \left(- x + \sqrt{2}\right)\right) - 3}{x} \geq 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(4 x + \left(- x + \sqrt{2}\right)\right) - 3}{x} = 2$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(4 x + \left(- x + \sqrt{2}\right)\right) - 3}{x} = 2$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por el denominador x
obtendremos:
$$3 x - 3 + \sqrt{2} = 2 x$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

-3 + sqrt2 + 3*x = 2*x

Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$3 x + \sqrt{2} = 2 x + 3$$
Transportamos los términos con la incógnita x
del miembro derecho al izquierdo:
$$x + \sqrt{2} = 3$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en (x + sqrt(2))/x

x = 3 / ((x + sqrt(2))/x)

$$x_{1} = 3 - \sqrt{2}$$
$$x_{1} = 3 - \sqrt{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 3 - \sqrt{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(3 - \sqrt{2}\right)$$
=
$$\frac{29}{10} - \sqrt{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(4 x + \left(- x + \sqrt{2}\right)\right) - 3}{x} \geq 2$$
$$\frac{-3 + \left(\left(- (\frac{29}{10} - \sqrt{2}) + \sqrt{2}\right) + 4 \left(\frac{29}{10} - \sqrt{2}\right)\right)}{\frac{29}{10} - \sqrt{2}} \geq 2$$

57       ___     
-- - 2*\/ 2      
10               
------------ >= 2
 29     ___      
 -- - \/ 2       
 10              

pero

57       ___    
-- - 2*\/ 2     
10              
------------ < 2
 29     ___     
 -- - \/ 2      
 10             

Entonces
$$x \leq 3 - \sqrt{2}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq 3 - \sqrt{2}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1