log2(x^2+x+2)>3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\log{\left(\left(x^{2} + x\right) + 2 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} > 3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\log{\left(\left(x^{2} + x\right) + 2 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = 3$$
Resolvemos:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 2$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-3 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\log{\left(\left(x^{2} + x\right) + 2 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} > 3$$
$$\frac{\log{\left(2 + \left(- \frac{31}{10} + \left(- \frac{31}{10}\right)^{2}\right) \right)}}{\log{\left(2 \right)}} > 3$$

   /851\    
log|---|    
   \100/ > 3
--------    
 log(2)     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < -3$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < -3$$
$$x > 2$$