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Resolver desigualdades/ abs(x^2-6x+5)-abs(x^2-2x-3)<0

abs(x^2-6x+5)-abs(x^2-2x-3)<0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
| 2          |   | 2          |    
|x  - 6*x + 5| - |x  - 2*x - 3| < 0
∣(x2−6x)+5∣−∣(x2−2x)−3∣<0\left|{\left(x^{2} - 6 x\right) + 5}\right| - \left|{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3}\right| < 0 
|x^2 - 6*x + 5| - |x^2 - 2*x - 3| < 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
∣(x2−6x)+5∣−∣(x2−2x)−3∣<0\left|{\left(x^{2} - 6 x\right) + 5}\right| - \left|{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3}\right| < 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
∣(x2−6x)+5∣−∣(x2−2x)−3∣=0\left|{\left(x^{2} - 6 x\right) + 5}\right| - \left|{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3}\right| = 0
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
x2−6x+5≥0x^{2} - 6 x + 5 \geq 0
−x2+2x+3≥0- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0
o
−1≤x∧x≤1-1 \leq x \wedge x \leq 1
obtenemos la ecuación
−(−x2+2x+3)+(x2−6x+5)=0- (- x^{2} + 2 x + 3) + \left(x^{2} - 6 x + 5\right) = 0
simplificamos, obtenemos
2x2−8x+2=02 x^{2} - 8 x + 2 = 0
la resolución en este intervalo:
x1=2−3x_{1} = 2 - \sqrt{3}
x2=3+2x_{2} = \sqrt{3} + 2
pero x2 no satisface a la desigualdad

2.
x2−6x+5≥0x^{2} - 6 x + 5 \geq 0
−x2+2x+3<0- x^{2} + 2 x + 3 < 0
o
(5≤x∧x<∞)∨(−∞<x∧x<−1)\left(5 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(-\infty < x \wedge x < -1\right)
obtenemos la ecuación
(x2−6x+5)−(x2−2x−3)=0\left(x^{2} - 6 x + 5\right) - \left(x^{2} - 2 x - 3\right) = 0
simplificamos, obtenemos
8−4x=08 - 4 x = 0
la resolución en este intervalo:
x3=2x_{3} = 2
pero x3 no satisface a la desigualdad

3.
x2−6x+5<0x^{2} - 6 x + 5 < 0
−x2+2x+3≥0- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0
o
x≤3∧1<xx \leq 3 \wedge 1 < x
obtenemos la ecuación
−(−x2+2x+3)+(−x2+6x−5)=0- (- x^{2} + 2 x + 3) + \left(- x^{2} + 6 x - 5\right) = 0
simplificamos, obtenemos
4x−8=04 x - 8 = 0
la resolución en este intervalo:
x4=2x_{4} = 2

4.
x2−6x+5<0x^{2} - 6 x + 5 < 0
−x2+2x+3<0- x^{2} + 2 x + 3 < 0
o
3<x∧x<53 < x \wedge x < 5
obtenemos la ecuación
(−x2+6x−5)−(x2−2x−3)=0\left(- x^{2} + 6 x - 5\right) - \left(x^{2} - 2 x - 3\right) = 0
simplificamos, obtenemos
−2x2+8x−2=0- 2 x^{2} + 8 x - 2 = 0
la resolución en este intervalo:
x5=2−3x_{5} = 2 - \sqrt{3}
pero x5 no satisface a la desigualdad
x6=3+2x_{6} = \sqrt{3} + 2


x1=2−3x_{1} = 2 - \sqrt{3}
x2=2x_{2} = 2
x3=3+2x_{3} = \sqrt{3} + 2
x1=2−3x_{1} = 2 - \sqrt{3}
x2=2x_{2} = 2
x3=3+2x_{3} = \sqrt{3} + 2
Las raíces dadas
x1=2−3x_{1} = 2 - \sqrt{3}
x2=2x_{2} = 2
x3=3+2x_{3} = \sqrt{3} + 2
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x1x_{0} < x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−110+(2−3)- \frac{1}{10} + \left(2 - \sqrt{3}\right)
=
1910−3\frac{19}{10} - \sqrt{3}
lo sustituimos en la expresión
∣(x2−6x)+5∣−∣(x2−2x)−3∣<0\left|{\left(x^{2} - 6 x\right) + 5}\right| - \left|{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3}\right| < 0
−∣−3+(−2(1910−3)+(1910−3)2)∣+∣(−6(1910−3)+(1910−3)2)+5∣<0- \left|{-3 + \left(- 2 \left(\frac{19}{10} - \sqrt{3}\right) + \left(\frac{19}{10} - \sqrt{3}\right)^{2}\right)}\right| + \left|{\left(- 6 \left(\frac{19}{10} - \sqrt{3}\right) + \left(\frac{19}{10} - \sqrt{3}\right)^{2}\right) + 5}\right| < 0
                     2              
  66     /19     ___\        ___    
- -- + 2*|-- - \/ 3 |  + 8*\/ 3  < 0
  5      \10        /

pero
                     2              
  66     /19     ___\        ___    
- -- + 2*|-- - \/ 3 |  + 8*\/ 3  > 0
  5      \10        /

Entonces
x<2−3x < 2 - \sqrt{3}
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x>2−3∧x<2x > 2 - \sqrt{3} \wedge x < 2
         _____           _____  
        /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x2      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x>2−3∧x<2x > 2 - \sqrt{3} \wedge x < 2
x>3+2x > \sqrt{3} + 2
Solución de la desigualdad en el gráfico
0123456-5-4-3-2-1-5050
Respuesta rápida 2 [src] 
       ___              ___     
(2 - \/ 3 , 2) U (2 + \/ 3 , oo)
x in (2−3,2)∪(3+2,∞)x\ in\ \left(2 - \sqrt{3}, 2\right) \cup \left(\sqrt{3} + 2, \infty\right) 
x in Union(Interval.open(2 - sqrt(3), 2), Interval.open(sqrt(3) + 2, oo))
Respuesta rápida [src] 
  /   /             ___    \     /              ___    \\
Or\And\x < 2, 2 - \/ 3  < x/, And\x < oo, 2 + \/ 3  < x//
(x<2∧2−3<x)∨(x<∞∧3+2<x)\left(x < 2 \wedge 2 - \sqrt{3} < x\right) \vee \left(x < \infty \wedge \sqrt{3} + 2 < x\right) 
((x < oo)∧(2 + sqrt(3) < x))∨((x < 2)∧(2 - sqrt(3) < x))
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