abs(x^2-6x+5)-abs(x^2-2x-3)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{\left(x^{2} - 6 x\right) + 5}\right| - \left|{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3}\right| < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{\left(x^{2} - 6 x\right) + 5}\right| - \left|{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3}\right| = 0$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x^{2} - 6 x + 5 \geq 0$$
$$- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$$
o
$$-1 \leq x \wedge x \leq 1$$
obtenemos la ecuación
$$- (- x^{2} + 2 x + 3) + \left(x^{2} - 6 x + 5\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$2 x^{2} - 8 x + 2 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 2 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3} + 2$$
pero x2 no satisface a la desigualdad

2.
$$x^{2} - 6 x + 5 \geq 0$$
$$- x^{2} + 2 x + 3 < 0$$
o
$$\left(5 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(-\infty < x \wedge x < -1\right)$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x^{2} - 6 x + 5\right) - \left(x^{2} - 2 x - 3\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$8 - 4 x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = 2$$
pero x3 no satisface a la desigualdad

3.
$$x^{2} - 6 x + 5 < 0$$
$$- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$$
o
$$x \leq 3 \wedge 1 < x$$
obtenemos la ecuación
$$- (- x^{2} + 2 x + 3) + \left(- x^{2} + 6 x - 5\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$4 x - 8 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{4} = 2$$

4.
$$x^{2} - 6 x + 5 < 0$$
$$- x^{2} + 2 x + 3 < 0$$
o
$$3 < x \wedge x < 5$$
obtenemos la ecuación
$$\left(- x^{2} + 6 x - 5\right) - \left(x^{2} - 2 x - 3\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 2 x^{2} + 8 x - 2 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{5} = 2 - \sqrt{3}$$
pero x5 no satisface a la desigualdad
$$x_{6} = \sqrt{3} + 2$$


$$x_{1} = 2 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = \sqrt{3} + 2$$
$$x_{1} = 2 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = \sqrt{3} + 2$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = \sqrt{3} + 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(2 - \sqrt{3}\right)$$
=
$$\frac{19}{10} - \sqrt{3}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{\left(x^{2} - 6 x\right) + 5}\right| - \left|{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3}\right| < 0$$
$$- \left|{-3 + \left(- 2 \left(\frac{19}{10} - \sqrt{3}\right) + \left(\frac{19}{10} - \sqrt{3}\right)^{2}\right)}\right| + \left|{\left(- 6 \left(\frac{19}{10} - \sqrt{3}\right) + \left(\frac{19}{10} - \sqrt{3}\right)^{2}\right) + 5}\right| < 0$$

                     2              
  66     /19     ___\        ___    
- -- + 2*|-- - \/ 3 |  + 8*\/ 3  < 0
  5      \10        /               
    

pero

                     2              
  66     /19     ___\        ___    
- -- + 2*|-- - \/ 3 |  + 8*\/ 3  > 0
  5      \10        /               
    

Entonces
$$x < 2 - \sqrt{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 2 - \sqrt{3} \wedge x < 2$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x2      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x > 2 - \sqrt{3} \wedge x < 2$$
$$x > \sqrt{3} + 2$$