abs(x^2-7x+3)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{\left(x^{2} - 7 x\right) + 3}\right| \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{\left(x^{2} - 7 x\right) + 3}\right| = 0$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x^{2} - 7 x + 3 \geq 0$$
o
$$\left(x \leq \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{37}}{2} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(\frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2} \leq x \wedge x < \infty\right)$$
obtenemos la ecuación
$$x^{2} - 7 x + 3 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x^{2} - 7 x + 3 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{37}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2}$$

2.
$$x^{2} - 7 x + 3 < 0$$
o
$$x < \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2} \wedge \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{37}}{2} < x$$
obtenemos la ecuación
$$- x^{2} + 7 x - 3 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x^{2} + 7 x - 3 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{37}}{2}$$
pero x3 no satisface a la desigualdad
$$x_{4} = \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2}$$
pero x4 no satisface a la desigualdad


$$x_{1} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{37}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2}$$
$$x_{1} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{37}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{37}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(\frac{7}{2} - \frac{\sqrt{37}}{2}\right)$$
=
$$\frac{17}{5} - \frac{\sqrt{37}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{\left(x^{2} - 7 x\right) + 3}\right| \leq 0$$
$$\left|{\left(- 7 \left(\frac{17}{5} - \frac{\sqrt{37}}{2}\right) + \left(\frac{17}{5} - \frac{\sqrt{37}}{2}\right)^{2}\right) + 3}\right| \leq 0$$

                     2                
        /       ____\        ____     
  104   |17   \/ 37 |    7*\/ 37  <= 0
- --- + |-- - ------|  + --------     
   5    \5      2   /       2         

pero

                     2                
        /       ____\        ____     
  104   |17   \/ 37 |    7*\/ 37  >= 0
- --- + |-- - ------|  + --------     
   5    \5      2   /       2         

Entonces
$$x \leq \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{37}}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{37}}{2} \wedge x \leq \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2