log(x^(2)+x+2)>3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(\left(x^{2} + x\right) + 2 \right)} > 3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(\left(x^{2} + x\right) + 2 \right)} = 3$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-7 + 4 e^{3}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{-7 + 4 e^{3}}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-7 + 4 e^{3}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{-7 + 4 e^{3}}}{2} - \frac{1}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{-7 + 4 e^{3}}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-7 + 4 e^{3}}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{-7 + 4 e^{3}}}{2} - \frac{1}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{-7 + 4 e^{3}}}{2} - \frac{3}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(\left(x^{2} + x\right) + 2 \right)} > 3$$
$$\log{\left(2 + \left(\left(- \frac{\sqrt{-7 + 4 e^{3}}}{2} - \frac{3}{5}\right) + \left(- \frac{\sqrt{-7 + 4 e^{3}}}{2} - \frac{3}{5}\right)^{2}\right) \right)} > 3$$

   /                          2                 \    
   |    /         ___________\       ___________|    
   |    |        /         3 |      /         3 |    
   |7   |  3   \/  -7 + 4*e  |    \/  -7 + 4*e  | > 3
log|- + |- - - --------------|  - --------------|    
   \5   \  5         2       /          2       /    
    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \frac{\sqrt{-7 + 4 e^{3}}}{2} - \frac{1}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \frac{\sqrt{-7 + 4 e^{3}}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x > - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-7 + 4 e^{3}}}{2}$$