tg2x=>1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\tan{\left(2 x \right)} \geq 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\tan{\left(2 x \right)} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\tan{\left(2 x \right)} = 1$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$2 x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(1 \right)}$$
O
$$2 x = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$2$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\tan{\left(2 x \right)} \geq 1$$
$$\tan{\left(2 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}\right) \right)} \geq 1$$

   /  1   pi       \     
tan|- - + -- + pi*n| >= 1
   \  5   4        /     

pero

   /  1   pi       \    
tan|- - + -- + pi*n| < 1
   \  5   4        /    

Entonces
$$x \leq \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1