lg^2(x)+lgx<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = e^{-1}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = e^{-1}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = e^{-1}$$
$$x_{1} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{-1}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{-1}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)} < 0$$
$$\log{\left(- \frac{1}{10} + e^{-1} \right)} + \log{\left(- \frac{1}{10} + e^{-1} \right)}^{2} < 0$$

   2/  1     -1\      /  1     -1\    
log |- -- + e  | + log|- -- + e  | < 0
    \  10      /      \  10      /    

pero

   2/  1     -1\      /  1     -1\    
log |- -- + e  | + log|- -- + e  | > 0
    \  10      /      \  10      /    

Entonces
$$x < e^{-1}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > e^{-1} \wedge x < 1$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1