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Resolver desigualdades/ log2x(x+4)*logx(2-x)<0

log2x(x+4)*logx(2-x)<0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
log(2*x)*(x + 4)*log(x)*(2 - x) < 0
(x+4)log⁡(2x)log⁡(x)(2−x)<0\left(x + 4\right) \log{\left(2 x \right)} \log{\left(x \right)} \left(2 - x\right) < 0 
(((x + 4)*log(2*x))*log(x))*(2 - x) < 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
(x+4)log⁡(2x)log⁡(x)(2−x)<0\left(x + 4\right) \log{\left(2 x \right)} \log{\left(x \right)} \left(2 - x\right) < 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
(x+4)log⁡(2x)log⁡(x)(2−x)=0\left(x + 4\right) \log{\left(2 x \right)} \log{\left(x \right)} \left(2 - x\right) = 0
Resolvemos:
x1=−4x_{1} = -4
x2=12x_{2} = \frac{1}{2}
x3=1x_{3} = 1
x4=2x_{4} = 2
x1=−4x_{1} = -4
x2=12x_{2} = \frac{1}{2}
x3=1x_{3} = 1
x4=2x_{4} = 2
Las raíces dadas
x1=−4x_{1} = -4
x2=12x_{2} = \frac{1}{2}
x3=1x_{3} = 1
x4=2x_{4} = 2
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x1x_{0} < x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−4+−110-4 + - \frac{1}{10}
=
−4110- \frac{41}{10}
lo sustituimos en la expresión
(x+4)log⁡(2x)log⁡(x)(2−x)<0\left(x + 4\right) \log{\left(2 x \right)} \log{\left(x \right)} \left(2 - x\right) < 0
(−4110+4)log⁡((−41)210)log⁡(−4110)(2−−4110)<0\left(- \frac{41}{10} + 4\right) \log{\left(\frac{\left(-41\right) 2}{10} \right)} \log{\left(- \frac{41}{10} \right)} \left(2 - - \frac{41}{10}\right) < 0
   /  log(41/5)   pi*I\ /          /41\\    
61*|- --------- - ----|*|pi*I + log|--||    
   \      10       10 / \          \10// < 0
----------------------------------------    
                   10

Entonces
x<−4x < -4
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x>−4∧x<12x > -4 \wedge x < \frac{1}{2}
         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x2      x3      x4

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x>−4∧x<12x > -4 \wedge x < \frac{1}{2}
x>1∧x<2x > 1 \wedge x < 2
Solución de la desigualdad en el gráfico
-5.0-4.0-3.0-2.0-1.05.00.01.02.03.04.0-500500
Respuesta rápida [src] 
Or(And(1/2 < x, x < 1), 2 < x)
(12<x∧x<1)∨2<x\left(\frac{1}{2} < x \wedge x < 1\right) \vee 2 < x 
(2 < x)∨((1/2 < x)∧(x < 1))
Respuesta rápida 2 [src] 
(1/2, 1) U (2, oo)
x in (12,1)∪(2,∞)x\ in\ \left(\frac{1}{2}, 1\right) \cup \left(2, \infty\right) 
x in Union(Interval.open(1/2, 1), Interval.open(2, oo))
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