sqrt(x+3)-sqrt(x-1)-sqrt(2*x-1)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- \sqrt{2 x - 1} + \left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 3}\right) > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \sqrt{2 x - 1} + \left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 3}\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$- \sqrt{2 x - 1} + \left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 3}\right) = 0$$
cambiamos:
$$- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 3} = \sqrt{2 x - 1}$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 3}\right)^{2} = 2 x - 1$$
o
$$\left(-1\right)^{2} \left(x - 1\right) + \left(\left(-1\right) 2 \sqrt{\left(x - 1\right) \left(x + 3\right)} + 1^{2} \left(x + 3\right)\right) = 2 x - 1$$
o
$$2 x - 2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 3} + 2 = 2 x - 1$$
cambiamos:
$$- 2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 3} = -3$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$4 x^{2} + 8 x - 12 = 9$$
$$4 x^{2} + 8 x - 12 = 9$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$4 x^{2} + 8 x - 21 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 4$$
$$b = 8$$
$$c = -21$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(8)^2 - 4 * (4) * (-21) = 400

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{7}{2}$$

Como
$$\sqrt{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{3}{2}$$
y
$$\sqrt{x^{2} + 2 x - 3} \geq 0$$
entonces
$$\frac{3}{2} \geq 0$$
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{7}{2}$$
comprobamos:
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
$$- \sqrt{x_{1} - 1} + \sqrt{x_{1} + 3} - \sqrt{2 x_{1} - 1} = 0$$
=
$$- \sqrt{-1 + \frac{2 \cdot 3}{2}} + \left(- \sqrt{-1 + \frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{3}{2} + 3}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
$$x_{2} = - \frac{7}{2}$$
$$- \sqrt{x_{2} - 1} + \sqrt{x_{2} + 3} - \sqrt{2 x_{2} - 1} = 0$$
=
$$- \sqrt{\frac{\left(-7\right) 2}{2} - 1} + \left(- \sqrt{- \frac{7}{2} - 1} + \sqrt{- \frac{7}{2} + 3}\right) = 0$$
=

-3*i*sqrt(2) = 0

- No
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{3}{2}$$
=
$$\frac{7}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \sqrt{2 x - 1} + \left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 3}\right) > 0$$
$$- \sqrt{-1 + \frac{2 \cdot 7}{5}} + \left(- \sqrt{-1 + \frac{7}{5}} + \sqrt{\frac{7}{5} + 3}\right) > 0$$

      ___     ____     _____    
  3*\/ 5    \/ 10    \/ 110     
- ------- - ------ + ------- > 0
     5        5         5       
    

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < \frac{3}{2}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1