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Resolver desigualdades/ sqrt(x+3)-sqrt(x-1)-sqrt(2*x-1)>0

sqrt(x+3)-sqrt(x-1)-sqrt(2*x-1)>0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
  _______     _______     _________    
\/ x + 3  - \/ x - 1  - \/ 2*x - 1  > 0
−2x−1+(−x−1+x+3)>0- \sqrt{2 x - 1} + \left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 3}\right) > 0 
-sqrt(2*x - 1) - sqrt(x - 1) + sqrt(x + 3) > 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
−2x−1+(−x−1+x+3)>0- \sqrt{2 x - 1} + \left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 3}\right) > 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
−2x−1+(−x−1+x+3)=0- \sqrt{2 x - 1} + \left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 3}\right) = 0
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
−2x−1+(−x−1+x+3)=0- \sqrt{2 x - 1} + \left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 3}\right) = 0
cambiamos:
−x−1+x+3=2x−1- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 3} = \sqrt{2 x - 1}
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
(−x−1+x+3)2=2x−1\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 3}\right)^{2} = 2 x - 1
o
(−1)2(x−1)+((−1)2(x−1)(x+3)+12(x+3))=2x−1\left(-1\right)^{2} \left(x - 1\right) + \left(\left(-1\right) 2 \sqrt{\left(x - 1\right) \left(x + 3\right)} + 1^{2} \left(x + 3\right)\right) = 2 x - 1
o
2x−2x2+2x−3+2=2x−12 x - 2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 3} + 2 = 2 x - 1
cambiamos:
−2x2+2x−3=−3- 2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 3} = -3
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
4x2+8x−12=94 x^{2} + 8 x - 12 = 9
4x2+8x−12=94 x^{2} + 8 x - 12 = 9
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
4x2+8x−21=04 x^{2} + 8 x - 21 = 0
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
x1=D−b2ax_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
x2=−D−b2ax_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
a=4a = 4
b=8b = 8
c=−21c = -21
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(8)^2 - 4 * (4) * (-21) = 400

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
x2=−72x_{2} = - \frac{7}{2}

Como
x2+2x−3=32\sqrt{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{3}{2}
y
x2+2x−3≥0\sqrt{x^{2} + 2 x - 3} \geq 0
entonces
32≥0\frac{3}{2} \geq 0
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
x2=−72x_{2} = - \frac{7}{2}
comprobamos:
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
−x1−1+x1+3−2x1−1=0- \sqrt{x_{1} - 1} + \sqrt{x_{1} + 3} - \sqrt{2 x_{1} - 1} = 0
=
−−1+2⋅32+(−−1+32+32+3)=0- \sqrt{-1 + \frac{2 \cdot 3}{2}} + \left(- \sqrt{-1 + \frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{3}{2} + 3}\right) = 0
=
0 = 0

- la igualdad
x2=−72x_{2} = - \frac{7}{2}
−x2−1+x2+3−2x2−1=0- \sqrt{x_{2} - 1} + \sqrt{x_{2} + 3} - \sqrt{2 x_{2} - 1} = 0
=
−(−7)22−1+(−−72−1+−72+3)=0- \sqrt{\frac{\left(-7\right) 2}{2} - 1} + \left(- \sqrt{- \frac{7}{2} - 1} + \sqrt{- \frac{7}{2} + 3}\right) = 0
=
-3*i*sqrt(2) = 0

- No
Entonces la respuesta definitiva es:
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
Las raíces dadas
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x1x_{0} < x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−110+32- \frac{1}{10} + \frac{3}{2}
=
75\frac{7}{5}
lo sustituimos en la expresión
−2x−1+(−x−1+x+3)>0- \sqrt{2 x - 1} + \left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 3}\right) > 0
−−1+2⋅75+(−−1+75+75+3)>0- \sqrt{-1 + \frac{2 \cdot 7}{5}} + \left(- \sqrt{-1 + \frac{7}{5}} + \sqrt{\frac{7}{5} + 3}\right) > 0
      ___     ____     _____    
  3*\/ 5    \/ 10    \/ 110     
- ------- - ------ + ------- > 0
     5        5         5

significa que la solución de la desigualdad será con:
x<32x < \frac{3}{2}
 _____          
      \    
-------ο-------
       x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
0123456-5-4-3-2-15-5
Respuesta rápida [src] 
And(1 <= x, x < 3/2)
1≤x∧x<321 \leq x \wedge x < \frac{3}{2} 
(1 <= x)∧(x < 3/2)
Respuesta rápida 2 [src] 
[1, 3/2)
x in [1,32)x\ in\ \left[1, \frac{3}{2}\right) 
x in Interval.Ropen(1, 3/2)
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