Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right)}{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right)}{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 1$$
=
$$\frac{9}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right)}{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)} > 0$$
$$\frac{\left(-2 + \frac{9}{10}\right) \left(-1 + \frac{9}{10}\right) \left(-3 + \frac{9}{10}\right)}{\left(\frac{9}{10} + 1\right) \left(\frac{9}{10} + 2\right) \left(\frac{9}{10} + 3\right)} > 0$$
-77
---- > 0
7163
Entonces
$$x < 1$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 1 \wedge x < 2$$
_____ _____
/ \ /
-------ο-------ο-------ο-------
x1 x2 x3
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x > 1 \wedge x < 2$$
$$x > 3$$