absolute(2x-3)-absolute(3x+7)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{2 x - 3}\right| - \left|{3 x + 7}\right| > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{2 x - 3}\right| - \left|{3 x + 7}\right| = 0$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$2 x - 3 \geq 0$$
$$3 x + 7 \geq 0$$
o
$$\frac{3}{2} \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(2 x - 3\right) - \left(3 x + 7\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x - 10 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = -10$$
pero x1 no satisface a la desigualdad

2.
$$2 x - 3 \geq 0$$
$$3 x + 7 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

3.
$$2 x - 3 < 0$$
$$3 x + 7 \geq 0$$
o
$$- \frac{7}{3} \leq x \wedge x < \frac{3}{2}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(3 - 2 x\right) - \left(3 x + 7\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 5 x - 4 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = - \frac{4}{5}$$

4.
$$2 x - 3 < 0$$
$$3 x + 7 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < - \frac{7}{3}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(3 - 2 x\right) - \left(- 3 x - 7\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x + 10 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = -10$$


$$x_{1} = - \frac{4}{5}$$
$$x_{2} = -10$$
$$x_{1} = - \frac{4}{5}$$
$$x_{2} = -10$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -10$$
$$x_{1} = - \frac{4}{5}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-10 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{101}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{2 x - 3}\right| - \left|{3 x + 7}\right| > 0$$
$$- \left|{\frac{\left(-101\right) 3}{10} + 7}\right| + \left|{\frac{\left(-101\right) 2}{10} - 3}\right| > 0$$

-1/10 > 0

Entonces
$$x < -10$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > -10 \wedge x < - \frac{4}{5}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1