(1-4sin(x)^2)>sqrt(3)/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$1 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} > \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$1 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$1 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
cambiamos
$$- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 0$$
$$\left(1 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -4$$
$$b = 0$$
$$c = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (-4) * (1 - sqrt(3)/2) = 16 - 8*sqrt(3)

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = - \frac{\sqrt{16 - 8 \sqrt{3}}}{8}$$
$$w_{2} = \frac{\sqrt{16 - 8 \sqrt{3}}}{8}$$
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{16 - 8 \sqrt{3}}}{8} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{16 - 8 \sqrt{3}}}{8} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{16 - 8 \sqrt{3}}}{8} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{16 - 8 \sqrt{3}}}{8} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{16 - 8 \sqrt{3}}}{8} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{16 - 8 \sqrt{3}}}{8} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{16 - 8 \sqrt{3}}}{8} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{16 - 8 \sqrt{3}}}{8} \right)} + \pi$$
$$x_{1} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} \right)}$$
$$x_{1} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} \right)}$$
$$x_{1} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} \right)} + \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} \right)} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} \right)} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$1 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} > \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$1 - 4 \sin^{2}{\left(- \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} \right)} - \frac{1}{10} \right)} > \frac{\sqrt{3}}{2}$$

          /         /         ___________\\     ___
          |         |  ___   /       ___ ||   \/ 3 
         2|1        |\/ 2 *\/  2 - \/ 3  || > -----
1 - 4*sin |-- + asin|--------------------||     2  
          \10       \         4          //   

Entonces
$$x < - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} \right)}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} \right)} \wedge x < \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} \right)}$$

         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x3      x4      x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x > - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} \right)} \wedge x < \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} \right)}$$
$$x > \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} \right)} \wedge x < \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} \right)} + \pi$$