xlogx<0,778 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x \log{\left(x \right)} < \frac{389}{500}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x \log{\left(x \right)} = \frac{389}{500}$$
Resolvemos:
$$x_{1} = e^{W\left(\frac{389}{500}\right)}$$
$$x_{1} = e^{W\left(\frac{389}{500}\right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = e^{W\left(\frac{389}{500}\right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{W\left(\frac{389}{500}\right)}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{W\left(\frac{389}{500}\right)}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x \log{\left(x \right)} < \frac{389}{500}$$
$$\left(- \frac{1}{10} + e^{W\left(\frac{389}{500}\right)}\right) \log{\left(- \frac{1}{10} + e^{W\left(\frac{389}{500}\right)} \right)} < \frac{389}{500}$$

/         /389\\    /         /389\\      
|        W|---||    |        W|---||   389
|  1      \500/|    |  1      \500/| < ---
|- -- + e      |*log|- -- + e      |   500
\  10          /    \  10          /      

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < e^{W\left(\frac{389}{500}\right)}$$

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      \    
-------ο-------
       x1