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Resolver desigualdades/ log(x^2-x)(logx^2+xx)>=0

log(x^2-x)(logx^2+xx)>=0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
   / 2    \ /   2         \     
log\x  - x/*\log (x) + x*x/ >= 0
(xx+log⁡(x)2)log⁡(x2−x)≥0\left(x x + \log{\left(x \right)}^{2}\right) \log{\left(x^{2} - x \right)} \geq 0 
(x*x + log(x)^2)*log(x^2 - x) >= 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
(xx+log⁡(x)2)log⁡(x2−x)≥0\left(x x + \log{\left(x \right)}^{2}\right) \log{\left(x^{2} - x \right)} \geq 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
(xx+log⁡(x)2)log⁡(x2−x)=0\left(x x + \log{\left(x \right)}^{2}\right) \log{\left(x^{2} - x \right)} = 0
Resolvemos:
x1=12−52x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}
x2=12+52x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}
x3=e−W(−i)x_{3} = e^{- W\left(- i\right)}
x4=e−W(i)x_{4} = e^{- W\left(i\right)}
Descartamos las soluciones complejas:
x1=12−52x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}
x2=12+52x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}
Las raíces dadas
x1=12−52x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}
x2=12+52x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(12−52)+−110\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) + - \frac{1}{10}
=
25−52\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}
lo sustituimos en la expresión
(xx+log⁡(x)2)log⁡(x2−x)≥0\left(x x + \log{\left(x \right)}^{2}\right) \log{\left(x^{2} - x \right)} \geq 0
((25−52)(25−52)+log⁡(25−52)2)log⁡((25−52)2−(25−52))≥0\left(\left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) \left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) + \log{\left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}\right) \log{\left(\left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{2} - \left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) \right)} \geq 0
/           2                            2\    /                 2        \     
|/      ___\    /          /        ___\\ |    |      /      ___\      ___|     
||2   \/ 5 |    |          |  2   \/ 5 || |    |  2   |2   \/ 5 |    \/ 5 | >= 0
||- - -----|  + |pi*I + log|- - + -----|| |*log|- - + |- - -----|  + -----|     
\\5     2  /    \          \  5     2  // /    \  5   \5     2  /      2  /

Entonces
x≤12−52x \leq \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≥12−52∧x≤12+52x \geq \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \wedge x \leq \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
-5.0-4.0-3.0-2.0-1.05.00.01.02.03.04.0-2525
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