log(x^2-x)(logx^2+xx)>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x x + \log{\left(x \right)}^{2}\right) \log{\left(x^{2} - x \right)} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x x + \log{\left(x \right)}^{2}\right) \log{\left(x^{2} - x \right)} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{3} = e^{- W\left(- i\right)}$$
$$x_{4} = e^{- W\left(i\right)}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x x + \log{\left(x \right)}^{2}\right) \log{\left(x^{2} - x \right)} \geq 0$$
$$\left(\left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) \left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) + \log{\left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}\right) \log{\left(\left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{2} - \left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) \right)} \geq 0$$

/           2                            2\    /                 2        \     
|/      ___\    /          /        ___\\ |    |      /      ___\      ___|     
||2   \/ 5 |    |          |  2   \/ 5 || |    |  2   |2   \/ 5 |    \/ 5 | >= 0
||- - -----|  + |pi*I + log|- - + -----|| |*log|- - + |- - -----|  + -----|     
\\5     2  /    \          \  5     2  // /    \  5   \5     2  /      2  /     

Entonces
$$x \leq \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \wedge x \leq \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2