sqrt(x)-sqrt(3-x)>=sqrt(3) desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sqrt{x} - \sqrt{3 - x} \geq \sqrt{3}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sqrt{x} - \sqrt{3 - x} = \sqrt{3}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sqrt{x} - \sqrt{3 - x} = \sqrt{3}$$
cambiamos:
$$\sqrt{x} - \sqrt{3 - x} = \sqrt{3}$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{x} - \sqrt{3 - x}\right)^{2} = 3$$
o
$$\left(-1\right)^{2} \left(3 - x\right) + \left(1^{2} x + \left(-1\right) 2 \sqrt{x \left(3 - x\right)}\right) = 3$$
o
$$3 - 2 \sqrt{- x^{2} + 3 x} = 3$$
cambiamos:
$$- 2 \sqrt{- x^{2} + 3 x} = 0$$
cambiamos
$$- x^{2} + 3 x = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 3$$
$$c = 0$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(3)^2 - 4 * (-1) * (0) = 9

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
comprobamos:
$$x_{1} = 0$$
$$\sqrt{x_{1}} - \sqrt{3 - x_{1}} - \sqrt{3} = 0$$
=
$$\left(- \sqrt{3 - 0} + \sqrt{0}\right) - \sqrt{3} = 0$$
=

-2*sqrt(3) = 0

- No
$$x_{2} = 3$$
$$\sqrt{x_{2}} - \sqrt{3 - x_{2}} - \sqrt{3} = 0$$
=
$$- \sqrt{3} + \left(- \sqrt{3 - 3} + \sqrt{3}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 3$$
=
$$\frac{29}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sqrt{x} - \sqrt{3 - x} \geq \sqrt{3}$$
$$- \sqrt{3 - \frac{29}{10}} + \sqrt{\frac{29}{10}} \geq \sqrt{3}$$

    ____     _____         
  \/ 10    \/ 290       ___
- ------ + ------- >= \/ 3 
    10        10      
         

pero

    ____     _____        
  \/ 10    \/ 290      ___
- ------ + ------- < \/ 3 
    10        10     
        

Entonces
$$x \leq 3$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq 3$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1