logx(2)+2log2x(2)>=2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$2 \log{\left(x \right)} + 2 \cdot 2 \log{\left(2 x \right)} \geq 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$2 \log{\left(x \right)} + 2 \cdot 2 \log{\left(2 x \right)} = 2$$
Resolvemos:
$$x_{1} = \frac{\sqrt[3]{2} e^{\frac{1}{3}}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt[3]{2} e^{\frac{1}{3}}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\sqrt[3]{2} e^{\frac{1}{3}}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\sqrt[3]{2} e^{\frac{1}{3}}}{2}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\sqrt[3]{2} e^{\frac{1}{3}}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$2 \log{\left(x \right)} + 2 \cdot 2 \log{\left(2 x \right)} \geq 2$$
$$2 \log{\left(- \frac{1}{10} + \frac{\sqrt[3]{2} e^{\frac{1}{3}}}{2} \right)} + 2 \cdot 2 \log{\left(2 \left(- \frac{1}{10} + \frac{\sqrt[3]{2} e^{\frac{1}{3}}}{2}\right) \right)} \geq 2$$

     /       3 ___  1/3\                               
     |  1    \/ 2 *e   |        /  1   3 ___  1/3\     
2*log|- -- + ----------| + 4*log|- - + \/ 2 *e   | >= 2
     \  10       2     /        \  5             /     
     

pero

     /       3 ___  1/3\                              
     |  1    \/ 2 *e   |        /  1   3 ___  1/3\    
2*log|- -- + ----------| + 4*log|- - + \/ 2 *e   | < 2
     \  10       2     /        \  5             /    
    

Entonces
$$x \leq \frac{\sqrt[3]{2} e^{\frac{1}{3}}}{2}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq \frac{\sqrt[3]{2} e^{\frac{1}{3}}}{2}$$

         _____  
        /
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       x1