logx+log(x-1)

+ desigualdades

¡Resolver la desigualdad!

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]

                      log(2)    
log(x) + log(x - 1) < ------ + 1
                      log(3)    

$$\log{\left(x \right)} + \log{\left(x - 1 \right)} < \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + 1$$

log(x) + log(x - 1) < log(2)/log(3) + 1

Solución detallada

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(x \right)} + \log{\left(x - 1 \right)} < \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(x \right)} + \log{\left(x - 1 \right)} = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + 1$$
Resolvemos:
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1 + 4 \cdot 6^{\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}}}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1 + 4 \cdot 6^{\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}}}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1 + 4 \cdot 6^{\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}}}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1 + 4 \cdot 6^{\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}}}}{2}\right)$$
=
$$\frac{2}{5} + \frac{\sqrt{1 + 4 \cdot 6^{\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}}}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(x \right)} + \log{\left(x - 1 \right)} < \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + 1$$
$$\log{\left(-1 + \left(\frac{2}{5} + \frac{\sqrt{1 + 4 \cdot 6^{\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}}}}{2}\right) \right)} + \log{\left(\frac{2}{5} + \frac{\sqrt{1 + 4 \cdot 6^{\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}}}}{2} \right)} < \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + 1$$

   /           _______________\      /         _______________\             
   |          /          1    |      |        /          1    |             
   |         /         ------ |      |       /         ------ |       log(2)
   |        /          log(3) |      |      /          log(3) | < 1 + ------
   |  3   \/    1 + 4*6       |      |2   \/    1 + 4*6       |       log(3)
log|- - + --------------------| + log|- + --------------------|             
   \  5            2          /      \5            2          /             

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1 + 4 \cdot 6^{\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}}}}{2}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Solución de la desigualdad en el gráfico

Respuesta rápida [src]

   /                    _________________\
   |                   /            1    |
   |                  /           ------ |
   |                 /            log(3) |
   |           1   \/    1 + 4*E*2       |
And|1 < x, x < - + ----------------------|
   \           2             2           /

$$1 < x \wedge x < \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}} e}}{2}$$

(1 < x)∧(x < 1/2 + sqrt(1 + 4*E*2^(1/log(3)))/2)

Respuesta rápida 2 [src]

             _________________ 
            /            1     
           /           ------  
          /            log(3)  
    1   \/    1 + 4*E*2        
(1, - + ----------------------)
    2             2            

$$x\ in\ \left(1, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}} e}}{2}\right)$$

x in Interval.open(1, 1/2 + sqrt(1 + 4*2^(1/log(3))*E)/2)