Se da la desigualdad:
$$\log{\left(x \right)} + \log{\left(x - 1 \right)} < \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(x \right)} + \log{\left(x - 1 \right)} = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + 1$$
Resolvemos:
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1 + 4 \cdot 6^{\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}}}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1 + 4 \cdot 6^{\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}}}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1 + 4 \cdot 6^{\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}}}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1 + 4 \cdot 6^{\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}}}}{2}\right)$$
=
$$\frac{2}{5} + \frac{\sqrt{1 + 4 \cdot 6^{\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}}}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(x \right)} + \log{\left(x - 1 \right)} < \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + 1$$
$$\log{\left(-1 + \left(\frac{2}{5} + \frac{\sqrt{1 + 4 \cdot 6^{\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}}}}{2}\right) \right)} + \log{\left(\frac{2}{5} + \frac{\sqrt{1 + 4 \cdot 6^{\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}}}}{2} \right)} < \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + 1$$
/ _______________\ / _______________\
| / 1 | | / 1 |
| / ------ | | / ------ | log(2)
| / log(3) | | / log(3) | < 1 + ------
| 3 \/ 1 + 4*6 | |2 \/ 1 + 4*6 | log(3)
log|- - + --------------------| + log|- + --------------------|
\ 5 2 / \5 2 /
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1 + 4 \cdot 6^{\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}}}}{2}$$
_____
\
-------ο-------
x1