Se da la desigualdad:
$$\log{\left(3 x \right)} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} > \log{\left(2 \right)}^{3} + 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(3 x \right)} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} = \log{\left(2 \right)}^{3} + 1$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 0.756883890260108$$
$$x_{1} = 0.756883890260108$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 0.756883890260108$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 0.756883890260108$$
=
$$0.656883890260108$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(3 x \right)} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} > \log{\left(2 \right)}^{3} + 1$$
$$\frac{\log{\left(0.656883890260108 + 1 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \log{\left(0.656883890260108 \cdot 3 \right)} > \log{\left(2 \right)}^{3} + 1$$
0.504938663726189 3
0.678364285398935 + ----------------- > 1 + log (2)
log(3)
Entonces
$$x < 0.756883890260108$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > 0.756883890260108$$
_____
/
-------ο-------
x1