|x^2-5|>2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x^{2} - 5}\right| > 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x^{2} - 5}\right| = 2$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x^{2} - 5 \geq 0$$
o
$$\left(x \leq - \sqrt{5} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(\sqrt{5} \leq x \wedge x < \infty\right)$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x^{2} - 5\right) - 2 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x^{2} - 7 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = - \sqrt{7}$$
$$x_{2} = \sqrt{7}$$

2.
$$x^{2} - 5 < 0$$
o
$$- \sqrt{5} < x \wedge x < \sqrt{5}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(5 - x^{2}\right) - 2 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$3 - x^{2} = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = - \sqrt{3}$$
$$x_{4} = \sqrt{3}$$


$$x_{1} = - \sqrt{7}$$
$$x_{2} = \sqrt{7}$$
$$x_{3} = - \sqrt{3}$$
$$x_{4} = \sqrt{3}$$
$$x_{1} = - \sqrt{7}$$
$$x_{2} = \sqrt{7}$$
$$x_{3} = - \sqrt{3}$$
$$x_{4} = \sqrt{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \sqrt{7}$$
$$x_{3} = - \sqrt{3}$$
$$x_{4} = \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{7}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \sqrt{7} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \sqrt{7} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x^{2} - 5}\right| > 2$$
$$\left|{-5 + \left(- \sqrt{7} - \frac{1}{10}\right)^{2}}\right| > 2$$

                 2    
     /1      ___\     
-5 + |-- + \/ 7 |  > 2
     \10        /     
    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \sqrt{7}$$

 _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x3      x4      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \sqrt{7}$$
$$x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3}$$
$$x > \sqrt{7}$$