(3x-2)/(x^2-6x)-1/2>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{3 x - 2}{x^{2} - 6 x} - \frac{1}{2} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{3 x - 2}{x^{2} - 6 x} - \frac{1}{2} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{3 x - 2}{x^{2} - 6 x} - \frac{1}{2} = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$- \frac{x^{2} - 12 x + 4}{2 x \left(x - 6\right)} = 0$$
denominador
$$x$$
entonces

x no es igual a 0

denominador
$$x - 6$$
entonces

x no es igual a 6

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$- \frac{x^{2}}{2} + 6 x - 2 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$- \frac{x^{2}}{2} + 6 x - 2 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = - \frac{1}{2}$$
$$b = 6$$
$$c = -2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(6)^2 - 4 * (-1/2) * (-2) = 32

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 6 - 4 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 4 \sqrt{2} + 6$$
pero

x no es igual a 0

x no es igual a 6

$$x_{1} = 6 - 4 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 4 \sqrt{2} + 6$$
$$x_{1} = 6 - 4 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 4 \sqrt{2} + 6$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 6 - 4 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 4 \sqrt{2} + 6$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(6 - 4 \sqrt{2}\right)$$
=
$$\frac{59}{10} - 4 \sqrt{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{3 x - 2}{x^{2} - 6 x} - \frac{1}{2} > 0$$
$$- \frac{1}{2} + \frac{-2 + 3 \left(\frac{59}{10} - 4 \sqrt{2}\right)}{- 6 \left(\frac{59}{10} - 4 \sqrt{2}\right) + \left(\frac{59}{10} - 4 \sqrt{2}\right)^{2}} > 0$$

                157        ___              
                --- - 12*\/ 2               
  1              10                         
- - + ----------------------------------    
  2                         2            > 0
        177   /59       ___\         ___    
      - --- + |-- - 4*\/ 2 |  + 24*\/ 2     
         5    \10          /                
    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < 6 - 4 \sqrt{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < 6 - 4 \sqrt{2}$$
$$x > 4 \sqrt{2} + 6$$