tg(3x)^2+tg(3x)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\tan^{2}{\left(3 x \right)} + \tan{\left(3 x \right)} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\tan^{2}{\left(3 x \right)} + \tan{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\tan^{2}{\left(3 x \right)} + \tan{\left(3 x \right)} = 0$$
cambiamos
$$\left(\tan{\left(3 x \right)} + 1\right) \tan{\left(3 x \right)} = 0$$
$$\tan^{2}{\left(3 x \right)} + \tan{\left(3 x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$w = \tan{\left(3 x \right)}$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = 0$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (0) = 1

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = 0$$
$$w_{2} = -1$$
hacemos cambio inverso
$$\tan{\left(3 x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\tan{\left(3 x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$3 x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
O
$$3 x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$3$$
sustituimos w:
$$x_{1} = \frac{\pi n}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(w_{1} \right)}}{3}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(0 \right)}}{3}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(w_{2} \right)}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(-1 \right)}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{3} - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{12}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{1} = 0$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{12} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{12} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\tan^{2}{\left(3 x \right)} + \tan{\left(3 x \right)} > 0$$
$$\tan{\left(3 \left(- \frac{\pi}{12} - \frac{1}{10}\right) \right)} + \tan^{2}{\left(3 \left(- \frac{\pi}{12} - \frac{1}{10}\right) \right)} > 0$$

   2/3    pi\      /3    pi\    
tan |-- + --| - tan|-- + --| > 0
    \10   4 /      \10   4 /    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \frac{\pi}{12}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \frac{\pi}{12}$$
$$x > 0$$