2sin(x)<-1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$2 \sin{\left(x \right)} < -1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$2 \sin{\left(x \right)} = -1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$2 \sin{\left(x \right)} = -1$$
es la ecuación trigonométrica más simple

Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

La ecuación se convierte en
$$\sin{\left(x \right)} = - \frac{1}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
, donde n es cualquier número entero
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n - \frac{\pi}{6}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$2 \sin{\left(x \right)} < -1$$
$$2 \sin{\left(2 \pi n - \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10} \right)} < -1$$

      /1    pi         \     
-2*sin|-- + -- - 2*pi*n| < -1
      \10   6          /     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x > 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$