logx+1(5-x)>1 desigualdades

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log(x) + 5 - x > 1

\left(5 - x\right) + \log{\left(x \right)} > 1

5 - x + log(x) > 1

Solución detallada

Se da la desigualdad:

\left(5 - x\right) + \log{\left(x \right)} > 1

Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:

\left(5 - x\right) + \log{\left(x \right)} = 1

Resolvemos:

x_{1} = - W\left(- \frac{1}{e^{4}}\right)

x_{2} = - W_{-1}\left(- \frac{1}{e^{4}}\right)

x_{1} = - W\left(- \frac{1}{e^{4}}\right)

x_{2} = - W_{-1}\left(- \frac{1}{e^{4}}\right)

Las raíces dadas

x_{1} = - W\left(- \frac{1}{e^{4}}\right)

x_{2} = - W_{-1}\left(- \frac{1}{e^{4}}\right)

son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:

x_{0} < x_{1}

Consideremos, por ejemplo, el punto

x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}

=

- \frac{1}{10} - W\left(- \frac{1}{\left(e^{1}\right)^{4}}\right)

=

- \frac{1}{10} - W\left(- \frac{1}{e^{4}}\right)

lo sustituimos en la expresión

\left(5 - x\right) + \log{\left(x \right)} > 1

\log{\left(- \frac{1}{10} - W\left(- \frac{1}{\left(e^{1}\right)^{4}}\right) \right)} + \left(5 - \left(- \frac{1}{10} - W\left(- \frac{1}{\left(e^{1}\right)^{4}}\right)\right)\right) > 1

51           /  -4\      /1     /  -4\\    
-- + pi*I + W\-e  / + log|-- + W\-e  /| > 1
10                       \10          /

Entonces

x < - W\left(- \frac{1}{e^{4}}\right)

no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:

x > - W\left(- \frac{1}{e^{4}}\right) \wedge x < - W_{-1}\left(- \frac{1}{e^{4}}\right)

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Solución de la desigualdad en el gráfico