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Resolver desigualdades/ log(2)*x-2*log(x)*2+1<=0

log(2)*x-2*log(x)*2+1<=0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
log(2)*x - 2*log(x)*2 + 1 <= 0
(xlog⁡(2)−2⋅2log⁡(x))+1≤0\left(x \log{\left(2 \right)} - 2 \cdot 2 \log{\left(x \right)}\right) + 1 \leq 0 
x*log(2) - 2*2*log(x) + 1 <= 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
(xlog⁡(2)−2⋅2log⁡(x))+1≤0\left(x \log{\left(2 \right)} - 2 \cdot 2 \log{\left(x \right)}\right) + 1 \leq 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
(xlog⁡(2)−2⋅2log⁡(x))+1=0\left(x \log{\left(2 \right)} - 2 \cdot 2 \log{\left(x \right)}\right) + 1 = 0
Resolvemos:
x1=−4W(−e14log⁡(2)4)log⁡(2)x_{1} = - \frac{4 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{4}} \log{\left(2 \right)}}{4}\right)}{\log{\left(2 \right)}}
x2=−4W−1(−e14log⁡(2)4)log⁡(2)x_{2} = - \frac{4 W_{-1}\left(- \frac{e^{\frac{1}{4}} \log{\left(2 \right)}}{4}\right)}{\log{\left(2 \right)}}
x1=−4W(−e14log⁡(2)4)log⁡(2)x_{1} = - \frac{4 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{4}} \log{\left(2 \right)}}{4}\right)}{\log{\left(2 \right)}}
x2=−4W−1(−e14log⁡(2)4)log⁡(2)x_{2} = - \frac{4 W_{-1}\left(- \frac{e^{\frac{1}{4}} \log{\left(2 \right)}}{4}\right)}{\log{\left(2 \right)}}
Las raíces dadas
x1=−4W(−e14log⁡(2)4)log⁡(2)x_{1} = - \frac{4 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{4}} \log{\left(2 \right)}}{4}\right)}{\log{\left(2 \right)}}
x2=−4W−1(−e14log⁡(2)4)log⁡(2)x_{2} = - \frac{4 W_{-1}\left(- \frac{e^{\frac{1}{4}} \log{\left(2 \right)}}{4}\right)}{\log{\left(2 \right)}}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−110−4W(−e14log⁡(2)4)log⁡(2)- \frac{1}{10} - \frac{4 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{4}} \log{\left(2 \right)}}{4}\right)}{\log{\left(2 \right)}}
=
−110−4W(−e14log⁡(2)4)log⁡(2)- \frac{1}{10} - \frac{4 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{4}} \log{\left(2 \right)}}{4}\right)}{\log{\left(2 \right)}}
lo sustituimos en la expresión
(xlog⁡(2)−2⋅2log⁡(x))+1≤0\left(x \log{\left(2 \right)} - 2 \cdot 2 \log{\left(x \right)}\right) + 1 \leq 0
(−2⋅2log⁡(−110−4W(−e14log⁡(2)4)log⁡(2))+(−110−4W(−e14log⁡(2)4)log⁡(2))log⁡(2))+1≤0\left(- 2 \cdot 2 \log{\left(- \frac{1}{10} - \frac{4 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{4}} \log{\left(2 \right)}}{4}\right)}{\log{\left(2 \right)}} \right)} + \left(- \frac{1}{10} - \frac{4 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{4}} \log{\left(2 \right)}}{4}\right)}{\log{\left(2 \right)}}\right) \log{\left(2 \right)}\right) + 1 \leq 0
         /          /  1/4        \\   /          /  1/4        \\            
         |          |-e   *log(2) ||   |          |-e   *log(2) ||            
         |       4*W|-------------||   |       4*W|-------------||            
         |  1       \      4      /|   |  1       \      4      /|        <= 0
1 - 4*log|- -- - ------------------| + |- -- - ------------------|*log(2)     
         \  10         log(2)      /   \  10         log(2)      /

pero
         /          /  1/4        \\   /          /  1/4        \\            
         |          |-e   *log(2) ||   |          |-e   *log(2) ||            
         |       4*W|-------------||   |       4*W|-------------||            
         |  1       \      4      /|   |  1       \      4      /|        >= 0
1 - 4*log|- -- - ------------------| + |- -- - ------------------|*log(2)     
         \  10         log(2)      /   \  10         log(2)      /

Entonces
x≤−4W(−e14log⁡(2)4)log⁡(2)x \leq - \frac{4 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{4}} \log{\left(2 \right)}}{4}\right)}{\log{\left(2 \right)}}
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≥−4W(−e14log⁡(2)4)log⁡(2)∧x≤−4W−1(−e14log⁡(2)4)log⁡(2)x \geq - \frac{4 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{4}} \log{\left(2 \right)}}{4}\right)}{\log{\left(2 \right)}} \wedge x \leq - \frac{4 W_{-1}\left(- \frac{e^{\frac{1}{4}} \log{\left(2 \right)}}{4}\right)}{\log{\left(2 \right)}}
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
01234567-5-4-3-2-1-5050
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