Integral de (x+1)(x²+2x-3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \left(x^{2} + 2 x\right) - 3$.

      Luego que $du = \left(2 x + 2\right) dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = \frac{\int u\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 3\right)^{2}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 3\right) = x^{3} + 3 x^{2} - x - 3$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{2}\, dx = 3 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-3\right)\, dx = - 3 x$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - 3 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{2} + 2 x - 3\right)^{2}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{2} + 2 x - 3\right)^{2}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{2} + 2 x - 3\right)^{2}}{4}+ \mathrm{constant}$