Sr Examen
Integral de (3*x-1)/(x^2-3*x+4) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | 3*x - 1 | ------------ dx | 2 | x - 3*x + 4 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x - 1}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 4}\, dx$$
Integral((3*x - 1)/(x^2 - 3*x + 4), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 3*x - 1 | ------------ dx | 2 | x - 3*x + 4 | /
Reescribimos la función subintegral
2*x - 3
3*------------ / 7 \
2 |-----|
3*x - 1 x - 3*x + 4 \2*7/4/
------------ = -------------- + ---------------------------
2 2 2
x - 3*x + 4 / ___ ___\
|-2*\/ 7 3*\/ 7 |
|--------*x + -------| + 1
\ 7 7 / o
/ | | 3*x - 1 | ------------ dx | 2 = | x - 3*x + 4 | /
/
|
| 2*x - 3
3* | ------------ dx
| 2
/ | x - 3*x + 4
| |
| 1 /
2* | --------------------------- dx + --------------------
| 2 2
| / ___ ___\
| |-2*\/ 7 3*\/ 7 |
| |--------*x + -------| + 1
| \ 7 7 /
|
/ En integral
/
|
| 2*x - 3
3* | ------------ dx
| 2
| x - 3*x + 4
|
/
--------------------
2 hacemos el cambio
2 u = x - 3*x
entonces
integral =
/
|
| 1
3* | ----- du
| 4 + u
|
/ 3*log(4 + u)
------------- = ------------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 2*x - 3
3* | ------------ dx
| 2
| x - 3*x + 4
| / 2 \
/ 3*log\4 + x - 3*x/
-------------------- = -------------------
2 2 En integral
/ | | 1 2* | --------------------------- dx | 2 | / ___ ___\ | |-2*\/ 7 3*\/ 7 | | |--------*x + -------| + 1 | \ 7 7 / | /
hacemos el cambio
___ ___
3*\/ 7 2*x*\/ 7
v = ------- - ---------
7 7 entonces
integral =
/ | | 1 2* | ------ dv = 2*atan(v) | 2 | 1 + v | /
hacemos cambio inverso
/ | / ___ ___\ | 1 ___ | 3*\/ 7 2*x*\/ 7 | 2* | --------------------------- dx = \/ 7 *atan|- ------- + ---------| | 2 \ 7 7 / | / ___ ___\ | |-2*\/ 7 3*\/ 7 | | |--------*x + -------| + 1 | \ 7 7 / | /
La solución:
/ 2 \ / ___ ___\
3*log\4 + x - 3*x/ ___ | 3*\/ 7 2*x*\/ 7 |
C + ------------------- + \/ 7 *atan|- ------- + ---------|
2 \ 7 7 /
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | / 2 \ / ___ \ | 3*x - 1 3*log\4 + x - 3*x/ ___ |2*\/ 7 *(-3/2 + x)| | ------------ dx = C + ------------------- + \/ 7 *atan|------------------| | 2 2 \ 7 / | x - 3*x + 4 | /
$$\int \frac{3 x - 1}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 4}\, dx = C + \frac{3 \log{\left(x^{2} - 3 x + 4 \right)}}{2} + \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{7} \left(x - \frac{3}{2}\right)}{7} \right)}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
/ ___\ / ___\
3*log(4) 3*log(2) ___ |3*\/ 7 | ___ |\/ 7 |
- -------- + -------- + \/ 7 *atan|-------| - \/ 7 *atan|-----|
2 2 \ 7 / \ 7 /
$$- \frac{3 \log{\left(4 \right)}}{2} - \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)} + \frac{3 \log{\left(2 \right)}}{2} + \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{7}}{7} \right)}$$
=
=
/ ___\ / ___\
3*log(4) 3*log(2) ___ |3*\/ 7 | ___ |\/ 7 |
- -------- + -------- + \/ 7 *atan|-------| - \/ 7 *atan|-----|
2 2 \ 7 / \ 7 /
$$- \frac{3 \log{\left(4 \right)}}{2} - \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)} + \frac{3 \log{\left(2 \right)}}{2} + \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{7}}{7} \right)}$$
-3*log(4)/2 + 3*log(2)/2 + sqrt(7)*atan(3*sqrt(7)/7) - sqrt(7)*atan(sqrt(7)/7)
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.