Integral de (2x+1)/(4x+3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u + 1}{4 u + 6}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u + 1}{4 u + 6} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4 \left(2 u + 3\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{4 \left(2 u + 3\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{2 u + 3}\, du}{4}$

            1. que $u = 2 u + 3$.

               Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(2 u + 3 \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(2 u + 3 \right)}}{8}$

         El resultado es: $\frac{u}{4} - \frac{\log{\left(2 u + 3 \right)}}{8}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(4 x + 3 \right)}}{8}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x + 1}{4 x + 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(4 x + 3\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{2 \left(4 x + 3\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{4 x + 3}\, dx}{2}$

         1. que $u = 4 x + 3$.

            Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{1}{4 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(4 x + 3 \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(4 x + 3 \right)}}{8}$

      El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(4 x + 3 \right)}}{8}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x + 1}{4 x + 3} = \frac{2 x}{4 x + 3} + \frac{1}{4 x + 3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x}{4 x + 3}\, dx = 2 \int \frac{x}{4 x + 3}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{4 x + 3} = \frac{1}{4} - \frac{3}{4 \left(4 x + 3\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{3}{4 \left(4 x + 3\right)}\right)\, dx = - \frac{3 \int \frac{1}{4 x + 3}\, dx}{4}$

               1. que $u = 4 x + 3$.

                  Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                  $\int \frac{1}{4 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(4 x + 3 \right)}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \log{\left(4 x + 3 \right)}}{16}$

            El resultado es: $\frac{x}{4} - \frac{3 \log{\left(4 x + 3 \right)}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{3 \log{\left(4 x + 3 \right)}}{8}$

      1. que $u = 4 x + 3$.

         Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{1}{4 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(4 x + 3 \right)}}{4}$

      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\log{\left(4 x + 3 \right)}}{4} - \frac{3 \log{\left(4 x + 3 \right)}}{8}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(4 x + 3 \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(4 x + 3 \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$