Integral de x/sqrt(2+4x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{4 x + 2}$.

      Luego que $du = \frac{2 dx}{\sqrt{4 x + 2}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{u^{2}}{8} - \frac{1}{4}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{2}}{8}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{8}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{24}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(- \frac{1}{4}\right)\, du = - \frac{u}{4}$

         El resultado es: $\frac{u^{3}}{24} - \frac{u}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(4 x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{24} - \frac{\sqrt{4 x + 2}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\sqrt{4 x + 2}} = \frac{\sqrt{2} x}{2 \sqrt{2 x + 1}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sqrt{2} x}{2 \sqrt{2 x + 1}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}\, dx}{2}$

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{\left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $du$:

         $\int \left(- 2 \left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2 u^{2}}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 \left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2}\, du$

               1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                  Método #1

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2 u^{2}} + \frac{1}{4 u^{4}}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{1}{2 u^{2}}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{2}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{2 u}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{1}{4 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{4}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{12 u^{3}}$

                     El resultado es: $\frac{u}{4} + \frac{1}{2 u} - \frac{1}{12 u^{3}}$

                  Método #2

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2} = \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{4 u^{4}}$

                  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{4 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du}{4}$

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}} = 1 - \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int 1\, du = u$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{u}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                        El resultado es: $u + \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{4} + \frac{1}{2 u} - \frac{1}{12 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{2} - \frac{1}{u} + \frac{1}{6 u^{3}}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{2 u^{2}}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{2 u}$

            El resultado es: $- \frac{1}{2 u} + \frac{1}{6 u^{3}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{\sqrt{2 x + 1}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{2} \left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{\sqrt{2 x + 1}}{2}\right)}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\left(\frac{x}{6} - \frac{1}{6}\right) \sqrt{4 x + 2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(\frac{x}{6} - \frac{1}{6}\right) \sqrt{4 x + 2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(\frac{x}{6} - \frac{1}{6}\right) \sqrt{4 x + 2}+ \mathrm{constant}$