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Resolución de integrales/ (3x^2)/ (x-2sqrt(3x^2)+1)/x

Integral de (x-2sqrt(3x^2)+1)/x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                       
  /                       
 |                        
 |           ______       
 |          /    2        
 |  x - 2*\/  3*x   + 1   
 |  ------------------- dx
 |           x            
 |                        
/                         
0
∫01(x−23x2)+1x dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(x - 2 \sqrt{3 x^{2}}\right) + 1}{x}\, dx 
Integral((x - 2*sqrt(3)*sqrt(x^2) + 1)/x, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos dudu:

      ∫23u1u2−u−1u2 du\int \frac{2 \sqrt{3} u \sqrt{\frac{1}{u^{2}}} - u - 1}{u^{2}}\, du

      1. que u=−uu = - u.

        Luego que du=−dudu = - du y ponemos dudu:

        ∫23u1u2−u+1u2 du\int \frac{2 \sqrt{3} u \sqrt{\frac{1}{u^{2}}} - u + 1}{u^{2}}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          23u1u2−u+1u2=231u2u−1u+1u2\frac{2 \sqrt{3} u \sqrt{\frac{1}{u^{2}}} - u + 1}{u^{2}} = \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{\frac{1}{u^{2}}}}{u} - \frac{1}{u} + \frac{1}{u^{2}}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫231u2u du=23∫1u2u du\int \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{\frac{1}{u^{2}}}}{u}\, du = 2 \sqrt{3} \int \frac{\sqrt{\frac{1}{u^{2}}}}{u}\, du

            1. que u=1u2u = \frac{1}{u^{2}}.

              Luego que du=−2duu3du = - \frac{2 du}{u^{3}} y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

              ∫(−12u) du\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=−∫1u du2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

                Por lo tanto, el resultado es: −u- \sqrt{u}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −1u2- \sqrt{\frac{1}{u^{2}}}

            Por lo tanto, el resultado es: −231u2- 2 \sqrt{3} \sqrt{\frac{1}{u^{2}}}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1u) du=−∫1u du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          El resultado es: −231u2−log⁡(u)−1u- 2 \sqrt{3} \sqrt{\frac{1}{u^{2}}} - \log{\left(u \right)} - \frac{1}{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −231u2−log⁡(−u)+1u- 2 \sqrt{3} \sqrt{\frac{1}{u^{2}}} - \log{\left(- u \right)} + \frac{1}{u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x−23x2−log⁡(−1x)x - 2 \sqrt{3} \sqrt{x^{2}} - \log{\left(- \frac{1}{x} \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x−23x2)+1x=1−23x2x+1x\frac{\left(x - 2 \sqrt{3 x^{2}}\right) + 1}{x} = 1 - \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{x^{2}}}{x} + \frac{1}{x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−23x2x) dx=−23∫x2x dx\int \left(- \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{x^{2}}}{x}\right)\, dx = - 2 \sqrt{3} \int \frac{\sqrt{x^{2}}}{x}\, dx

        1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

          Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

          ∫(−1u2u) du\int \left(- \frac{\sqrt{\frac{1}{u^{2}}}}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u2u du=−∫1u2u du\int \frac{\sqrt{\frac{1}{u^{2}}}}{u}\, du = - \int \frac{\sqrt{\frac{1}{u^{2}}}}{u}\, du

            1. que u=1u2u = \frac{1}{u^{2}}.

              Luego que du=−2duu3du = - \frac{2 du}{u^{3}} y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

              ∫(−12u) du\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=−∫1u du2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

                Por lo tanto, el resultado es: −u- \sqrt{u}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −1u2- \sqrt{\frac{1}{u^{2}}}

            Por lo tanto, el resultado es: 1u2\sqrt{\frac{1}{u^{2}}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2\sqrt{x^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: −23x2- 2 \sqrt{3} \sqrt{x^{2}}

      1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

      El resultado es: x−23x2+log⁡(x)x - 2 \sqrt{3} \sqrt{x^{2}} + \log{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x−23x2−log⁡(−1x)+constantx - 2 \sqrt{3} \sqrt{x^{2}} - \log{\left(- \frac{1}{x} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x−23x2−log⁡(−1x)+constantx - 2 \sqrt{3} \sqrt{x^{2}} - \log{\left(- \frac{1}{x} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                           
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 |          ______                                            
 |         /    2                                         ____
 | x - 2*\/  3*x   + 1                 /-1 \       ___   /  2 
 | ------------------- dx = C + x - log|---| - 2*\/ 3 *\/  x  
 |          x                          \ x /                  
 |                                                            
/
∫(x−23x2)+1x dx=C+x−23x2−log⁡(−1x)\int \frac{\left(x - 2 \sqrt{3 x^{2}}\right) + 1}{x}\, dx = C + x - 2 \sqrt{3} \sqrt{x^{2}} - \log{\left(- \frac{1}{x} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1000010000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
41.6263445188551
41.6263445188551

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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