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Resolución de integrales/ (3x-1)/ sin5x/ (3x-1)sin5x

Integral de (3x-1)sin5x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
  /                      
 |                       
 |  (3*x - 1)*sin(5*x) dx
 |                       
/                        
0
∫01(3x−1)sin⁡(5x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(3 x - 1\right) \sin{\left(5 x \right)}\, dx 
Integral((3*x - 1)*sin(5*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x−1)sin⁡(5x)=3xsin⁡(5x)−sin⁡(5x)\left(3 x - 1\right) \sin{\left(5 x \right)} = 3 x \sin{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xsin⁡(5x) dx=3∫xsin⁡(5x) dx\int 3 x \sin{\left(5 x \right)}\, dx = 3 \int x \sin{\left(5 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(5x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=5xu = 5 x.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(5x)5) dx=−∫cos⁡(5x) dx5\int \left(- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(5 x \right)}\, dx}{5}

          1. que u=5xu = 5 x.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫cos⁡(u)5 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(5x)5\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(5x)25- \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{25}

        Por lo tanto, el resultado es: −3xcos⁡(5x)5+3sin⁡(5x)25- \frac{3 x \cos{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{3 \sin{\left(5 x \right)}}{25}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡(5x)) dx=−∫sin⁡(5x) dx\int \left(- \sin{\left(5 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(5 x \right)}\, dx

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(5x)5\frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

      El resultado es: −3xcos⁡(5x)5+3sin⁡(5x)25+cos⁡(5x)5- \frac{3 x \cos{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{3 \sin{\left(5 x \right)}}{25} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=3x−1u{\left(x \right)} = 3 x - 1 y que dv⁡(x)=sin⁡(5x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=3\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=5xu = 5 x.

        Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

        ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−3cos⁡(5x)5) dx=−3∫cos⁡(5x) dx5\int \left(- \frac{3 \cos{\left(5 x \right)}}{5}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(5 x \right)}\, dx}{5}

      1. que u=5xu = 5 x.

        Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

        ∫cos⁡(u)5 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(5x)5\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: −3sin⁡(5x)25- \frac{3 \sin{\left(5 x \right)}}{25}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x−1)sin⁡(5x)=3xsin⁡(5x)−sin⁡(5x)\left(3 x - 1\right) \sin{\left(5 x \right)} = 3 x \sin{\left(5 x \right)} - \sin{\left(5 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xsin⁡(5x) dx=3∫xsin⁡(5x) dx\int 3 x \sin{\left(5 x \right)}\, dx = 3 \int x \sin{\left(5 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(5x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=5xu = 5 x.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(5x)5) dx=−∫cos⁡(5x) dx5\int \left(- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(5 x \right)}\, dx}{5}

          1. que u=5xu = 5 x.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫cos⁡(u)5 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(5x)5\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(5x)25- \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{25}

        Por lo tanto, el resultado es: −3xcos⁡(5x)5+3sin⁡(5x)25- \frac{3 x \cos{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{3 \sin{\left(5 x \right)}}{25}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡(5x)) dx=−∫sin⁡(5x) dx\int \left(- \sin{\left(5 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(5 x \right)}\, dx

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(5x)5\frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

      El resultado es: −3xcos⁡(5x)5+3sin⁡(5x)25+cos⁡(5x)5- \frac{3 x \cos{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{3 \sin{\left(5 x \right)}}{25} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −3xcos⁡(5x)5+3sin⁡(5x)25+cos⁡(5x)5+constant- \frac{3 x \cos{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{3 \sin{\left(5 x \right)}}{25} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−3xcos⁡(5x)5+3sin⁡(5x)25+cos⁡(5x)5+constant- \frac{3 x \cos{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{3 \sin{\left(5 x \right)}}{25} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                
 |                             cos(5*x)   3*sin(5*x)   3*x*cos(5*x)
 | (3*x - 1)*sin(5*x) dx = C + -------- + ---------- - ------------
 |                                5           25            5      
/
∫(3x−1)sin⁡(5x) dx=C−3xcos⁡(5x)5+3sin⁡(5x)25+cos⁡(5x)5\int \left(3 x - 1\right) \sin{\left(5 x \right)}\, dx = C - \frac{3 x \cos{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{3 \sin{\left(5 x \right)}}{25} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902.5-2.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  1   2*cos(5)   3*sin(5)
- - - -------- + --------
  5      5          25
−15+3sin⁡(5)25−2cos⁡(5)5- \frac{1}{5} + \frac{3 \sin{\left(5 \right)}}{25} - \frac{2 \cos{\left(5 \right)}}{5} 
=
= 
  1   2*cos(5)   3*sin(5)
- - - -------- + --------
  5      5          25
−15+3sin⁡(5)25−2cos⁡(5)5- \frac{1}{5} + \frac{3 \sin{\left(5 \right)}}{25} - \frac{2 \cos{\left(5 \right)}}{5} 
-1/5 - 2*cos(5)/5 + 3*sin(5)/25
Respuesta numérica [src] 
-0.428535787144867
-0.428535787144867

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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