Integral de (3x^4+2x^2+x^(2/3))/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{\frac{2}{3}}$.

      Luego que $du = \frac{2 dx}{3 \sqrt[3]{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{9 u^{5}}{2} + 3 u^{2} + \frac{3}{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{9 u^{5}}{2}\, du = \frac{9 \int u^{5}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{6}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{2}\, du = 3 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{3}{2}\, du = \frac{3 u}{2}$

         El resultado es: $\frac{3 u^{6}}{4} + u^{3} + \frac{3 u}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 x^{4}}{4} + x^{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{\frac{2}{3}} + \left(3 x^{4} + 2 x^{2}\right)}{x} = 3 x^{3} + 2 x + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{3}\, dx = 3 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$

      El resultado es: $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 x^{4}}{4} + x^{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 x^{4}}{4} + x^{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 x^{4}}{4} + x^{2}+ \mathrm{constant}$