Sr Examen
Integral de (x+1)/(x^(2)+x+1) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | x + 1 | ---------- dx | 2 | x + x + 1 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x + 1}{\left(x^{2} + x\right) + 1}\, dx$$
Integral((x + 1)/(x^2 + x + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | x + 1 | ---------- dx | 2 | x + x + 1 | /
Reescribimos la función subintegral
/ 2*x + 1 \
|----------| / 1 \
| 2 | |-----|
x + 1 \x + x + 1/ \2*3/4/
---------- = ------------ + -------------------------
2 2 2
x + x + 1 / ___ ___\
|-2*\/ 3 \/ 3 |
|--------*x - -----| + 1
\ 3 3 / o
/ | | x + 1 | ---------- dx | 2 = | x + x + 1 | /
/
|
| 1
/ 2* | ------------------------- dx
| | 2
| 2*x + 1 | / ___ ___\
| ---------- dx | |-2*\/ 3 \/ 3 |
| 2 | |--------*x - -----| + 1
| x + x + 1 | \ 3 3 /
| |
/ /
---------------- + ---------------------------------
2 3 En integral
/
|
| 2*x + 1
| ---------- dx
| 2
| x + x + 1
|
/
----------------
2 hacemos el cambio
2 u = x + x
entonces
integral =
/
|
| 1
| ----- du
| 1 + u
|
/ log(1 + u)
----------- = ----------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 2*x + 1
| ---------- dx
| 2
| x + x + 1
| / 2\
/ log\1 + x + x /
---------------- = ---------------
2 2 En integral
/
|
| 1
2* | ------------------------- dx
| 2
| / ___ ___\
| |-2*\/ 3 \/ 3 |
| |--------*x - -----| + 1
| \ 3 3 /
|
/
---------------------------------
3 hacemos el cambio
___ ___
\/ 3 2*x*\/ 3
v = - ----- - ---------
3 3 entonces
integral =
/
|
| 1
2* | ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ 2*atan(v)
-------------- = ---------
3 3 hacemos cambio inverso
/
|
| 1
2* | ------------------------- dx
| 2
| / ___ ___\
| |-2*\/ 3 \/ 3 |
| |--------*x - -----| + 1 / ___ ___\
| \ 3 3 / ___ |\/ 3 2*x*\/ 3 |
| \/ 3 *atan|----- + ---------|
/ \ 3 3 /
--------------------------------- = -----------------------------
3 3 La solución:
/ ___ ___\
___ |\/ 3 2*x*\/ 3 |
/ 2\ \/ 3 *atan|----- + ---------|
log\1 + x + x / \ 3 3 /
C + --------------- + -----------------------------
2 3
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ ___ \ / ___ |2*\/ 3 *(1/2 + x)| | / 2\ \/ 3 *atan|-----------------| | x + 1 log\1 + x + x / \ 3 / | ---------- dx = C + --------------- + ----------------------------- | 2 2 3 | x + x + 1 | /
$$\int \frac{x + 1}{\left(x^{2} + x\right) + 1}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} + x + 1 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \left(x + \frac{1}{2}\right)}{3} \right)}}{3}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
___ log(3) pi*\/ 3 ------ + -------- 2 18
$$\frac{\sqrt{3} \pi}{18} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{2}$$
=
=
___ log(3) pi*\/ 3 ------ + -------- 2 18
$$\frac{\sqrt{3} \pi}{18} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{2}$$
log(3)/2 + pi*sqrt(3)/18
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.