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Resolución de integrales/ sqrt(1-x*x)/ 1:((1-x*x)sqrt(1-x*x))

Integral de 1:((1-x*x)sqrt(1-x*x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   ___                        
 \/ 2                         
 -----                        
   2                          
   /                          
  |                           
  |             1             
  |   --------------------- dx
  |               _________   
  |   (1 - x*x)*\/ 1 - x*x    
  |                           
 /                            
 0
∫0221−xx+1(−xx+1) dx\int\limits_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{\sqrt{- x x + 1} \left(- x x + 1\right)}\, dx 
Integral(1/((1 - x*x)*sqrt(1 - x*x)), (x, 0, sqrt(2)/2))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1−xx+1(−xx+1)=−1x21−x2−1−x2\frac{1}{\sqrt{- x x + 1} \left(- x x + 1\right)} = - \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} - \sqrt{1 - x^{2}}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−1x21−x2−1−x2) dx=−∫1x21−x2−1−x2 dx\int \left(- \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} - \sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} - \sqrt{1 - x^{2}}}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        ∫1−(x−1)(x+1)(x−1)(x+1) dx\int \frac{1}{\sqrt{- \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}\, dx

      Por lo tanto, el resultado es: −∫1−(x−1)(x+1)(x−1)(x+1) dx- \int \frac{1}{\sqrt{- \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}\, dx

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1−xx+1(−xx+1)=1−x2−xx+1+−xx+1\frac{1}{\sqrt{- x x + 1} \left(- x x + 1\right)} = \frac{1}{- x^{2} \sqrt{- x x + 1} + \sqrt{- x x + 1}}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      1−x2−xx+1+−xx+1=−1x21−x2−1−x2\frac{1}{- x^{2} \sqrt{- x x + 1} + \sqrt{- x x + 1}} = - \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} - \sqrt{1 - x^{2}}}

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−1x21−x2−1−x2) dx=−∫1x21−x2−1−x2 dx\int \left(- \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} - \sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} - \sqrt{1 - x^{2}}}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        ∫1−(x−1)(x+1)(x−1)(x+1) dx\int \frac{1}{\sqrt{- \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}\, dx

      Por lo tanto, el resultado es: −∫1−(x−1)(x+1)(x−1)(x+1) dx- \int \frac{1}{\sqrt{- \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}\, dx

  2. Ahora simplificar:

    {−ixx2−1for ∣x2∣>1x1−x2otherwese\begin{cases} - \frac{i x}{\sqrt{x^{2} - 1}} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} & \text{otherwese} \end{cases}

  3. Añadimos la constante de integración:

    {−ixx2−1for ∣x2∣>1x1−x2otherwese+constant\begin{cases} - \frac{i x}{\sqrt{x^{2} - 1}} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{−ixx2−1for ∣x2∣>1x1−x2otherwese+constant\begin{cases} - \frac{i x}{\sqrt{x^{2} - 1}} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                 /                                         
 |                                 |                                          
 |           1                     |                   1                      
 | --------------------- dx = C -  | -------------------------------------- dx
 |             _________           |   ___________________                    
 | (1 - x*x)*\/ 1 - x*x            | \/ -(1 + x)*(-1 + x) *(1 + x)*(-1 + x)   
 |                                 |                                          
/                                 /
∫1−xx+1(−xx+1) dx=C−∫1−(x−1)(x+1)(x−1)(x+1) dx\int \frac{1}{\sqrt{- x x + 1} \left(- x x + 1\right)}\, dx = C - \int \frac{1}{\sqrt{- \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}\, dx
Simplificar
Gráfica
0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.7005
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
   ___                                             
 \/ 2                                              
 -----                                             
   2                                               
   /                                               
  |                                                
  |   /                        2                   
  |   |       I             I*x            2       
  |   |- ------------ + ------------  for x  > 1   
  |   |     _________            3/2               
  |   |    /       2    /      2\                  
  |   |  \/  -1 + x     \-1 + x /                  
  |   <                                          dx
  |   |                      2                     
  |   |       1             x                      
  |   |  ----------- + -----------    otherwise    
  |   |     ________           3/2                 
  |   |    /      2    /     2\                    
  |   \  \/  1 - x     \1 - x /                    
  |                                                
 /                                                 
 0
∫022{ix2(x2−1)32−ix2−1for x2>1x2(1−x2)32+11−x2otherwise dx\int\limits_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \begin{cases} \frac{i x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{i}{\sqrt{x^{2} - 1}} & \text{for}\: x^{2} > 1 \\\frac{x^{2}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} & \text{otherwise} \end{cases}\, dx 
=
= 
   ___                                             
 \/ 2                                              
 -----                                             
   2                                               
   /                                               
  |                                                
  |   /                        2                   
  |   |       I             I*x            2       
  |   |- ------------ + ------------  for x  > 1   
  |   |     _________            3/2               
  |   |    /       2    /      2\                  
  |   |  \/  -1 + x     \-1 + x /                  
  |   <                                          dx
  |   |                      2                     
  |   |       1             x                      
  |   |  ----------- + -----------    otherwise    
  |   |     ________           3/2                 
  |   |    /      2    /     2\                    
  |   \  \/  1 - x     \1 - x /                    
  |                                                
 /                                                 
 0
∫022{ix2(x2−1)32−ix2−1for x2>1x2(1−x2)32+11−x2otherwise dx\int\limits_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \begin{cases} \frac{i x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{i}{\sqrt{x^{2} - 1}} & \text{for}\: x^{2} > 1 \\\frac{x^{2}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} & \text{otherwise} \end{cases}\, dx 
Integral(Piecewise((-i/sqrt(-1 + x^2) + i*x^2/(-1 + x^2)^(3/2), x^2 > 1), (1/sqrt(1 - x^2) + x^2/(1 - x^2)^(3/2), True)), (x, 0, sqrt(2)/2))
Respuesta numérica [src] 
1.0
1.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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