Integral de 12(x^4+4x^2+1)^2(x^3+2x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \left(x^{4} + 4 x^{2}\right) + 1$.

      Luego que $du = \left(4 x^{3} + 8 x\right) dx$ y ponemos $3 du$:

      $\int 3 u^{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{2}\, du = 3 \int u^{2}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $u^{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\left(\left(x^{4} + 4 x^{2}\right) + 1\right)^{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x^{3} + 2 x\right) 12 \left(\left(x^{4} + 4 x^{2}\right) + 1\right)^{2} = 12 x^{11} + 120 x^{9} + 408 x^{7} + 528 x^{5} + 204 x^{3} + 24 x$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 12 x^{11}\, dx = 12 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 120 x^{9}\, dx = 120 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $12 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 408 x^{7}\, dx = 408 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $51 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 528 x^{5}\, dx = 528 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $88 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 204 x^{3}\, dx = 204 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $51 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 24 x\, dx = 24 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $12 x^{2}$

      El resultado es: $x^{12} + 12 x^{10} + 51 x^{8} + 88 x^{6} + 51 x^{4} + 12 x^{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\left(x^{4} + 4 x^{2} + 1\right)^{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(x^{4} + 4 x^{2} + 1\right)^{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(x^{4} + 4 x^{2} + 1\right)^{3}+ \mathrm{constant}$