Integral de 2arccos3x/5 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{2 \operatorname{acos}{\left(3 x \right)}}{5}\, dx = \frac{\int 2 \operatorname{acos}{\left(3 x \right)}\, dx}{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \operatorname{acos}{\left(3 x \right)}\, dx = 2 \int \operatorname{acos}{\left(3 x \right)}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 3 x$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{\operatorname{acos}{\left(u \right)}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \operatorname{acos}{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \operatorname{acos}{\left(u \right)}\, du}{3}$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = \operatorname{acos}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}\right)\, du = - \int \frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

                  1. que $u = 1 - u^{2}$.

                     Luego que $du = - 2 u du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

                     $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \sqrt{1 - u^{2}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{1 - u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \operatorname{acos}{\left(u \right)}}{3} - \frac{\sqrt{1 - u^{2}}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $x \operatorname{acos}{\left(3 x \right)} - \frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}{3}$

         Método #2

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(3 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}\right)\, dx = - 3 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}\, dx$

            1. que $u = 1 - 9 x^{2}$.

               Luego que $du = - 18 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{18}$:

               $\int \left(- \frac{1}{18 \sqrt{u}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{18}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{u}}{9}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 x \operatorname{acos}{\left(3 x \right)} - \frac{2 \sqrt{1 - 9 x^{2}}}{3}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x \operatorname{acos}{\left(3 x \right)}}{5} - \frac{2 \sqrt{1 - 9 x^{2}}}{15}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 x \operatorname{acos}{\left(3 x \right)}}{5} - \frac{2 \sqrt{1 - 9 x^{2}}}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 x \operatorname{acos}{\left(3 x \right)}}{5} - \frac{2 \sqrt{1 - 9 x^{2}}}{15}+ \mathrm{constant}$