Integral de x(1+x^2)^15 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2} + 1$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{15}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{15}\, du = \frac{\int u^{15}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{15}\, du = \frac{u^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{16}}{32}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{16}}{32}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(x^{2} + 1\right)^{15} = x^{31} + 15 x^{29} + 105 x^{27} + 455 x^{25} + 1365 x^{23} + 3003 x^{21} + 5005 x^{19} + 6435 x^{17} + 6435 x^{15} + 5005 x^{13} + 3003 x^{11} + 1365 x^{9} + 455 x^{7} + 105 x^{5} + 15 x^{3} + x$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{31}\, dx = \frac{x^{32}}{32}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 15 x^{29}\, dx = 15 \int x^{29}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{29}\, dx = \frac{x^{30}}{30}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{30}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 105 x^{27}\, dx = 105 \int x^{27}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{27}\, dx = \frac{x^{28}}{28}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{15 x^{28}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 455 x^{25}\, dx = 455 \int x^{25}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{25}\, dx = \frac{x^{26}}{26}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{35 x^{26}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1365 x^{23}\, dx = 1365 \int x^{23}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{455 x^{24}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3003 x^{21}\, dx = 3003 \int x^{21}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{21}\, dx = \frac{x^{22}}{22}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{273 x^{22}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5005 x^{19}\, dx = 5005 \int x^{19}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1001 x^{20}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6435 x^{17}\, dx = 6435 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{715 x^{18}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6435 x^{15}\, dx = 6435 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6435 x^{16}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5005 x^{13}\, dx = 5005 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{715 x^{14}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3003 x^{11}\, dx = 3003 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1001 x^{12}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1365 x^{9}\, dx = 1365 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{273 x^{10}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 455 x^{7}\, dx = 455 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{455 x^{8}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 105 x^{5}\, dx = 105 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{35 x^{6}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 15 x^{3}\, dx = 15 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{15 x^{4}}{4}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      El resultado es: $\frac{x^{32}}{32} + \frac{x^{30}}{2} + \frac{15 x^{28}}{4} + \frac{35 x^{26}}{2} + \frac{455 x^{24}}{8} + \frac{273 x^{22}}{2} + \frac{1001 x^{20}}{4} + \frac{715 x^{18}}{2} + \frac{6435 x^{16}}{16} + \frac{715 x^{14}}{2} + \frac{1001 x^{12}}{4} + \frac{273 x^{10}}{2} + \frac{455 x^{8}}{8} + \frac{35 x^{6}}{2} + \frac{15 x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{16}}{32}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{16}}{32}+ \mathrm{constant}$