Sr Examen
Integral de (x+4)/(x^2+2*x+4) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | x + 4 | ------------ dx | 2 | x + 2*x + 4 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x + 4}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 4}\, dx$$
Integral((x + 4)/(x^2 + 2*x + 4), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | x + 4 | ------------ dx | 2 | x + 2*x + 4 | /
Reescribimos la función subintegral
/ 2*x + 2 \
|------------| /3\
| 2 | |-|
x + 4 \x + 2*x + 4/ \3/
------------ = -------------- + ------------------------
2 2 2
x + 2*x + 4 / ___ ___\
|-\/ 3 \/ 3 |
|-------*x - -----| + 1
\ 3 3 / o
/ | | x + 4 | ------------ dx | 2 = | x + 2*x + 4 | /
/
|
| 2*x + 2
| ------------ dx
| 2
| x + 2*x + 4 /
| |
/ | 1
------------------ + | ------------------------ dx
2 | 2
| / ___ ___\
| |-\/ 3 \/ 3 |
| |-------*x - -----| + 1
| \ 3 3 /
|
/ En integral
/
|
| 2*x + 2
| ------------ dx
| 2
| x + 2*x + 4
|
/
------------------
2 hacemos el cambio
2 u = x + 2*x
entonces
integral =
/
|
| 1
| ----- du
| 4 + u
|
/ log(4 + u)
----------- = ----------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 2*x + 2
| ------------ dx
| 2
| x + 2*x + 4
| / 2 \
/ log\4 + x + 2*x/
------------------ = -----------------
2 2 En integral
/ | | 1 | ------------------------ dx | 2 | / ___ ___\ | |-\/ 3 \/ 3 | | |-------*x - -----| + 1 | \ 3 3 / | /
hacemos el cambio
___ ___
\/ 3 x*\/ 3
v = - ----- - -------
3 3 entonces
integral =
/ | | 1 | ------ dv = atan(v) | 2 | 1 + v | /
hacemos cambio inverso
/ | / ___ ___\ | 1 ___ |\/ 3 x*\/ 3 | | ------------------------ dx = \/ 3 *atan|----- + -------| | 2 \ 3 3 / | / ___ ___\ | |-\/ 3 \/ 3 | | |-------*x - -----| + 1 | \ 3 3 / | /
La solución:
/ 2 \ / ___ ___\
log\4 + x + 2*x/ ___ |\/ 3 x*\/ 3 |
C + ----------------- + \/ 3 *atan|----- + -------|
2 \ 3 3 /
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | / 2 \ / ___ \ | x + 4 log\4 + x + 2*x/ ___ |\/ 3 *(1 + x)| | ------------ dx = C + ----------------- + \/ 3 *atan|-------------| | 2 2 \ 3 / | x + 2*x + 4 | /
$$\int \frac{x + 4}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 4}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} + 2 x + 4 \right)}}{2} + \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(x + 1\right)}{3} \right)}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
/ ___\ ___ log(7) log(4) ___ |2*\/ 3 | pi*\/ 3 ------ - ------ + \/ 3 *atan|-------| - -------- 2 2 \ 3 / 6
$$- \frac{\sqrt{3} \pi}{6} - \frac{\log{\left(4 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(7 \right)}}{2} + \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)}$$
=
=
/ ___\ ___ log(7) log(4) ___ |2*\/ 3 | pi*\/ 3 ------ - ------ + \/ 3 *atan|-------| - -------- 2 2 \ 3 / 6
$$- \frac{\sqrt{3} \pi}{6} - \frac{\log{\left(4 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(7 \right)}}{2} + \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)}$$
log(7)/2 - log(4)/2 + sqrt(3)*atan(2*sqrt(3)/3) - pi*sqrt(3)/6
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.