Integral de x³ln(1+3x²) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \log{\left(3 x^{2} + 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{3}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{6 x}{3 x^{2} + 1}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{3 x^{5}}{2 \left(3 x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{3 \int \frac{x^{5}}{3 x^{2} + 1}\, dx}{2}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = x^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u^{2}}{6 u + 2}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{2}}{6 u + 2} = \frac{u}{6} - \frac{1}{18} + \frac{1}{18 \left(3 u + 1\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u}{6}\, du = \frac{\int u\, du}{6}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{12}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(- \frac{1}{18}\right)\, du = - \frac{u}{18}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{18 \left(3 u + 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{3 u + 1}\, du}{18}$

               1. que $u = 3 u + 1$.

                  Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

                  $\int \frac{1}{3 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(3 u + 1 \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(3 u + 1 \right)}}{54}$

            El resultado es: $\frac{u^{2}}{12} - \frac{u}{18} + \frac{\log{\left(3 u + 1 \right)}}{54}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{4}}{12} - \frac{x^{2}}{18} + \frac{\log{\left(3 x^{2} + 1 \right)}}{54}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{5}}{3 x^{2} + 1} = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x}{9} + \frac{x}{9 \left(3 x^{2} + 1\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x^{3}}{3}\, dx = \frac{\int x^{3}\, dx}{3}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{12}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{x}{9}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{9}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{18}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x}{9 \left(3 x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x}{3 x^{2} + 1}\, dx}{9}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{x}{3 x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{6 x}{3 x^{2} + 1}\, dx}{6}$

               1. que $u = 3 x^{2} + 1$.

                  Luego que $du = 6 x dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

                  $\int \frac{1}{6 u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(3 x^{2} + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(3 x^{2} + 1 \right)}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(3 x^{2} + 1 \right)}}{54}$

         El resultado es: $\frac{x^{4}}{12} - \frac{x^{2}}{18} + \frac{\log{\left(3 x^{2} + 1 \right)}}{54}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{8} - \frac{x^{2}}{12} + \frac{\log{\left(3 x^{2} + 1 \right)}}{36}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4} \log{\left(3 x^{2} + 1 \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{2}}{12} - \frac{\log{\left(3 x^{2} + 1 \right)}}{36}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4} \log{\left(3 x^{2} + 1 \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{2}}{12} - \frac{\log{\left(3 x^{2} + 1 \right)}}{36}+ \mathrm{constant}$