Integral de (4x+11)^7 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4 x + 11$.

      Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{u^{7}}{4}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{7}\, du = \frac{\int u^{7}\, du}{4}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{8}}{32}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(4 x + 11\right)^{8}}{32}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(4 x + 11\right)^{7} = 16384 x^{7} + 315392 x^{6} + 2601984 x^{5} + 11925760 x^{4} + 32795840 x^{3} + 54113136 x^{2} + 49603708 x + 19487171$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 16384 x^{7}\, dx = 16384 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2048 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 315392 x^{6}\, dx = 315392 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $45056 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2601984 x^{5}\, dx = 2601984 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $433664 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 11925760 x^{4}\, dx = 11925760 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2385152 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 32795840 x^{3}\, dx = 32795840 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $8198960 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 54113136 x^{2}\, dx = 54113136 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $18037712 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 49603708 x\, dx = 49603708 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $24801854 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 19487171\, dx = 19487171 x$

      El resultado es: $2048 x^{8} + 45056 x^{7} + 433664 x^{6} + 2385152 x^{5} + 8198960 x^{4} + 18037712 x^{3} + 24801854 x^{2} + 19487171 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(4 x + 11\right)^{8}}{32}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(4 x + 11\right)^{8}}{32}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(4 x + 11\right)^{8}}{32}+ \mathrm{constant}$