Sr Examen

Otras calculadoras

Resolución de integrales/ log(x)/ sin(log(x))/x^2

Integral de sin(log(x))/x^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |  sin(log(x))   
 |  ----------- dx
 |        2       
 |       x        
 |                
/                 
0
∫01sin⁡(log⁡(x))x2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}\, dx 
Integral(sin(log(x))/x^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

    Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

    ∫e−usin⁡(u) du\int e^{- u} \sin{\left(u \right)}\, du

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=−uu = - u.

        Luego que du=−dudu = - du y ponemos dudu:

        ∫eusin⁡(u) du\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du

        1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

          1. Para el integrando eusin⁡(u)e^{u} \sin{\left(u \right)}:

            que u(u)=sin⁡(u)u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces ∫eusin⁡(u) du=eusin⁡(u)−∫eucos⁡(u) du\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du.

          2. Para el integrando eucos⁡(u)e^{u} \cos{\left(u \right)}:

            que u(u)=cos⁡(u)u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces ∫eusin⁡(u) du=eusin⁡(u)−eucos⁡(u)+∫(−eusin⁡(u)) du\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du.

          3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

            2∫eusin⁡(u) du=eusin⁡(u)−eucos⁡(u)2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto,

            ∫eusin⁡(u) du=eusin⁡(u)2−eucos⁡(u)2\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −e−usin⁡(u)2−e−ucos⁡(u)2- \frac{e^{- u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{- u} \cos{\left(u \right)}}{2}

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

        1. Para el integrando e−usin⁡(u)e^{- u} \sin{\left(u \right)}:

          que u(u)=sin⁡(u)u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=e−u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- u}.

          Entonces ∫e−usin⁡(u) du=−∫(−e−ucos⁡(u)) du−e−usin⁡(u)\int e^{- u} \sin{\left(u \right)}\, du = - \int \left(- e^{- u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du - e^{- u} \sin{\left(u \right)}.

        2. Para el integrando −e−ucos⁡(u)- e^{- u} \cos{\left(u \right)}:

          que u(u)=−cos⁡(u)u{\left(u \right)} = - \cos{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=e−u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- u}.

          Entonces ∫e−usin⁡(u) du=∫(−e−usin⁡(u)) du−e−usin⁡(u)−e−ucos⁡(u)\int e^{- u} \sin{\left(u \right)}\, du = \int \left(- e^{- u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du - e^{- u} \sin{\left(u \right)} - e^{- u} \cos{\left(u \right)}.

        3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

          2∫e−usin⁡(u) du=−e−usin⁡(u)−e−ucos⁡(u)2 \int e^{- u} \sin{\left(u \right)}\, du = - e^{- u} \sin{\left(u \right)} - e^{- u} \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto,

          ∫e−usin⁡(u) du=−e−usin⁡(u)2−e−ucos⁡(u)2\int e^{- u} \sin{\left(u \right)}\, du = - \frac{e^{- u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{- u} \cos{\left(u \right)}}{2}

    Si ahora sustituir uu más en:

    −sin⁡(log⁡(x))2x−cos⁡(log⁡(x))2x- \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2 x} - \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2 x}

  2. Ahora simplificar:

    −2sin⁡(log⁡(x)+π4)2x- \frac{\sqrt{2} \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 x}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −2sin⁡(log⁡(x)+π4)2x+constant- \frac{\sqrt{2} \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 x}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−2sin⁡(log⁡(x)+π4)2x+constant- \frac{\sqrt{2} \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 x}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                              
 |                                               
 | sin(log(x))          cos(log(x))   sin(log(x))
 | ----------- dx = C - ----------- - -----------
 |       2                  2*x           2*x    
 |      x                                        
 |                                               
/
∫sin⁡(log⁡(x))x2 dx=C−sin⁡(log⁡(x))2x−cos⁡(log⁡(x))2x\int \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}\, dx = C - \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2 x} - \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2 x}
Simplificar
Respuesta [src] 
<-oo, oo>
⟨−∞,∞⟩\left\langle -\infty, \infty\right\rangle 
=
= 
<-oo, oo>
⟨−∞,∞⟩\left\langle -\infty, \infty\right\rangle 
AccumBounds(-oo, oo)
Respuesta numérica [src] 
6.53345578484722e+18
6.53345578484722e+18

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

    © Sr Examen – Калькулятор