Integral de ln(5x-2)(2x+4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 x + 4\right) \log{\left(5 x - 2 \right)} = 2 x \log{\left(5 x - 2 \right)} + 4 \log{\left(5 x - 2 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x \log{\left(5 x - 2 \right)}\, dx = 2 \int x \log{\left(5 x - 2 \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(5 x - 2 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{5}{5 x - 2}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{5 x^{2}}{2 \left(5 x - 2\right)}\, dx = \frac{5 \int \frac{x^{2}}{5 x - 2}\, dx}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x^{2}}{5 x - 2} = \frac{x}{5} + \frac{2}{25} + \frac{4}{25 \left(5 x - 2\right)}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{x}{5}\, dx = \frac{\int x\, dx}{5}$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{10}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{2}{25}\, dx = \frac{2 x}{25}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{4}{25 \left(5 x - 2\right)}\, dx = \frac{4 \int \frac{1}{5 x - 2}\, dx}{25}$

                  1. que $u = 5 x - 2$.

                     Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

                     $\int \frac{1}{5 u}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\log{\left(5 x - 2 \right)}}{5}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \log{\left(5 x - 2 \right)}}{125}$

               El resultado es: $\frac{x^{2}}{10} + \frac{2 x}{25} + \frac{4 \log{\left(5 x - 2 \right)}}{125}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{5} + \frac{2 \log{\left(5 x - 2 \right)}}{25}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} \log{\left(5 x - 2 \right)} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{2 x}{5} - \frac{4 \log{\left(5 x - 2 \right)}}{25}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \log{\left(5 x - 2 \right)}\, dx = 4 \int \log{\left(5 x - 2 \right)}\, dx$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = 5 x - 2$.

               Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

               $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{5}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \log{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \log{\left(u \right)}\, du}{5}$

                  1. Usamos la integración por partes:

                     $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                     que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

                     Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

                     Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     Ahora resolvemos podintegral.

                  2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \log{\left(u \right)}}{5} - \frac{u}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- x + \frac{\left(5 x - 2\right) \log{\left(5 x - 2 \right)}}{5} + \frac{2}{5}$

            Método #2

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = \log{\left(5 x - 2 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{5}{5 x - 2}$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, dx = x$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{5 x}{5 x - 2}\, dx = 5 \int \frac{x}{5 x - 2}\, dx$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{x}{5 x - 2} = \frac{1}{5} + \frac{2}{5 \left(5 x - 2\right)}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{5}\, dx = \frac{x}{5}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{2}{5 \left(5 x - 2\right)}\, dx = \frac{2 \int \frac{1}{5 x - 2}\, dx}{5}$

                     1. que $u = 5 x - 2$.

                        Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

                        $\int \frac{1}{5 u}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

                           1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\log{\left(5 x - 2 \right)}}{5}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \log{\left(5 x - 2 \right)}}{25}$

                  El resultado es: $\frac{x}{5} + \frac{2 \log{\left(5 x - 2 \right)}}{25}$

               Por lo tanto, el resultado es: $x + \frac{2 \log{\left(5 x - 2 \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 x + \frac{4 \left(5 x - 2\right) \log{\left(5 x - 2 \right)}}{5} + \frac{8}{5}$

      El resultado es: $x^{2} \log{\left(5 x - 2 \right)} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{22 x}{5} + \frac{4 \left(5 x - 2\right) \log{\left(5 x - 2 \right)}}{5} - \frac{4 \log{\left(5 x - 2 \right)}}{25} + \frac{8}{5}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(5 x - 2 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 2 x + 4$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{5}{5 x - 2}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 4\, dx = 4 x$

         El resultado es: $x^{2} + 4 x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{5 \left(x^{2} + 4 x\right)}{5 x - 2}\, dx = 5 \int \frac{x^{2} + 4 x}{5 x - 2}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{2} + 4 x}{5 x - 2} = \frac{x}{5} + \frac{22}{25} + \frac{44}{25 \left(5 x - 2\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x}{5}\, dx = \frac{\int x\, dx}{5}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{10}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{22}{25}\, dx = \frac{22 x}{25}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{44}{25 \left(5 x - 2\right)}\, dx = \frac{44 \int \frac{1}{5 x - 2}\, dx}{25}$

            1. que $u = 5 x - 2$.

               Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

               $\int \frac{1}{5 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(5 x - 2 \right)}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{44 \log{\left(5 x - 2 \right)}}{125}$

         El resultado es: $\frac{x^{2}}{10} + \frac{22 x}{25} + \frac{44 \log{\left(5 x - 2 \right)}}{125}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + \frac{22 x}{5} + \frac{44 \log{\left(5 x - 2 \right)}}{25}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 x + 4\right) \log{\left(5 x - 2 \right)} = 2 x \log{\left(5 x - 2 \right)} + 4 \log{\left(5 x - 2 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x \log{\left(5 x - 2 \right)}\, dx = 2 \int x \log{\left(5 x - 2 \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(5 x - 2 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{5}{5 x - 2}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{5 x^{2}}{2 \left(5 x - 2\right)}\, dx = \frac{5 \int \frac{x^{2}}{5 x - 2}\, dx}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x^{2}}{5 x - 2} = \frac{x}{5} + \frac{2}{25} + \frac{4}{25 \left(5 x - 2\right)}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{x}{5}\, dx = \frac{\int x\, dx}{5}$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{10}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{2}{25}\, dx = \frac{2 x}{25}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{4}{25 \left(5 x - 2\right)}\, dx = \frac{4 \int \frac{1}{5 x - 2}\, dx}{25}$

                  1. que $u = 5 x - 2$.

                     Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

                     $\int \frac{1}{5 u}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\log{\left(5 x - 2 \right)}}{5}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \log{\left(5 x - 2 \right)}}{125}$

               El resultado es: $\frac{x^{2}}{10} + \frac{2 x}{25} + \frac{4 \log{\left(5 x - 2 \right)}}{125}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{5} + \frac{2 \log{\left(5 x - 2 \right)}}{25}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} \log{\left(5 x - 2 \right)} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{2 x}{5} - \frac{4 \log{\left(5 x - 2 \right)}}{25}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \log{\left(5 x - 2 \right)}\, dx = 4 \int \log{\left(5 x - 2 \right)}\, dx$

         1. que $u = 5 x - 2$.

            Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

            $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{5}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \log{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \log{\left(u \right)}\, du}{5}$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \log{\left(u \right)}}{5} - \frac{u}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- x + \frac{\left(5 x - 2\right) \log{\left(5 x - 2 \right)}}{5} + \frac{2}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 x + \frac{4 \left(5 x - 2\right) \log{\left(5 x - 2 \right)}}{5} + \frac{8}{5}$

      El resultado es: $x^{2} \log{\left(5 x - 2 \right)} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{22 x}{5} + \frac{4 \left(5 x - 2\right) \log{\left(5 x - 2 \right)}}{5} - \frac{4 \log{\left(5 x - 2 \right)}}{25} + \frac{8}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $x^{2} \log{\left(5 x - 2 \right)} - \frac{x^{2}}{2} + 4 x \log{\left(5 x - 2 \right)} - \frac{22 x}{5} - \frac{44 \log{\left(5 x - 2 \right)}}{25} + \frac{8}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x^{2} \log{\left(5 x - 2 \right)} - \frac{x^{2}}{2} + 4 x \log{\left(5 x - 2 \right)} - \frac{22 x}{5} - \frac{44 \log{\left(5 x - 2 \right)}}{25} + \frac{8}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{2} \log{\left(5 x - 2 \right)} - \frac{x^{2}}{2} + 4 x \log{\left(5 x - 2 \right)} - \frac{22 x}{5} - \frac{44 \log{\left(5 x - 2 \right)}}{25} + \frac{8}{5}+ \mathrm{constant}$