Integral de x*(1/2x^2-1)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{x^{2}}{2} - 1$.

      Luego que $du = x dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{2}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(\frac{x^{2}}{2} - 1\right)^{3}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(\frac{x^{2}}{2} - 1\right)^{2} = \frac{x^{5}}{4} - x^{3} + x$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{5}}{4}\, dx = \frac{\int x^{5}\, dx}{4}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{6}}{24}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{3}\right)\, dx = - \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4}}{4}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      El resultado es: $\frac{x^{6}}{24} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{2} - 2\right)^{3}}{24}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{2} - 2\right)^{3}}{24}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{2} - 2\right)^{3}}{24}+ \mathrm{constant}$